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1、§2向量组的线性相关性回顾：向量组的线性组合定义：给定向量组A：a1,a2,…,am，对于任何一组实数k1,k2,…,km，表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合．k1,k2,…,km称为这个线性组合的系数．定义：给定向量组A：a1,a2,…,am和向量b，如果存在一组实数l1,l2,…,lm，使得b=l1a1+l2a2+…+lmam则称向量b能由向量组A的线性表示．引言问题1：给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？问题2：如果零向量可以由向量组A线性表示，线性组合的系数是否不全为零？向量b能由向量组A线
2、性表示线性方程组Ax=b有解P.83定理1的结论：问题1：给定向量组A，零向量是否可以由向量组A线性表示？问题1′：齐次线性方程组Ax=0是否存在解？回答：齐次线性方程组Ax=0一定存在解．事实上，可令k1=k2=…=km=0，则k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）问题2：如果零向量可以由向量组A线性表示，线性组合的系数是否不全为零？问题2′：齐次线性方程组Ax=0是否存在非零解？回答：齐次线性方程组不一定有非零解，从而线性组合的系数不一定全等于零．例：设若则k1=k2=k3=0．向量组的线性相关性定义：给定向量组A：a1,a2,
3、…,am，如果存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关的．向量组A：a1,a2,…,am线性相关m元齐次线性方程组Ax=0有非零解R(A)4、示．特别地，a1,a2线性相关当且仅当a1,a2的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线．a1,a2,a3线性相关的几何意义是三个向量共面．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）．m元齐次线性方程组Ax=0有非零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m．向量组A中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性无关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关如果k1a1+k2a2
5、+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．m元齐次线性方程组Ax=0只有零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m．向量组A中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性相关性的判定（重点、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性相关存在不全为零的实数k1,k2,…,km，使得k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量）．m元齐次线性方程组Ax=0有非零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向量的个数m．向量组A中至少有一个向量能由其余m－1个向量线性表示．向量组线性无关性的判定（重点
6、、难点）向量组A：a1,a2,…,am线性无关如果k1a1+k2a2+…+kmam=0（零向量），则必有k1=k2=…=km=0．m元齐次线性方程组Ax=0只有零解．矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于向量的个数m．向量组A中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．例：试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性．例：已知试讨论向量组a1,a2,a3及向量组a1,a2的线性相关性．解：可见R(a1,a2,a3)=2，故向量组a1,a2,a3线性相关；同时，R(a1,a2)=2，故向量组a1,a2线性无关．例：已知向量组a1,a2,a3线性
7、无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解题思路：转化为齐次线性方程组的问题；转化为矩阵的秩的问题．例：已知向量组a1,a2,a3线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法1：转化为齐次线性方程组的问题．已知，记作B=AK．设Bx=0，则(AK)x=A(Kx)=0．因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以Kx=0．又
8、K
9、=2≠0，那么Kx=0只有零解x=0，从而向量组b1,b2,b3线性无关．例：已知向量组a1,a
10、2,a3线性无关，且b1=a1+a2，b2=a2+a3，b3=a3+a1，试证明向量组b1,b2,b3线性无关．解法2：转化为矩阵的秩的问题．已知，记作B=AK．因为
11、K
12、=2≠
