[知识]图形折叠问题的探究

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1、图形折叠问题的探究已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1将纸片折叠，使顶点A与边CD±的点E重合.（1）如果折痕FG分别与AD,AB交于点F,G（如图（1）,）AF=23.求DE的长.（2）如果折痕FG分别与CD,AB交于点F,G（如图（2）,）,AAED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.（2012-南宁）如图,已矢I口矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD±的点E重合，折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.（1）如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2,当AAED

2、的外接【员I与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2,在（2）的条件下，求折痕FG的长.本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性.变式：己知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）（1）如图①，现将APBC沿PC翻折得到APEC；再在AD上取一点F,将ZPAF沿PF翻折得到APGF,并使得対线PE、PG重合，试问FG与CE的位置关系如何

3、，请说明理由；（2）在（1）中，如图②，连接FC,取FC的中点H,连接GH、EH,请你探索线段GH和线段EH的人小关系，并说明你的理由；（3）如图③，分别在AD、BC上取点F、C',使得ZAPF=ZBPC与（1）屮的操作相类似，即将APAF沿PF翻折得到APFG,并将ZXCPB，沿CP'翻折得到ZXCPE'，连接CF',取CF'的中点H,连接GH、EH,试问（2）中的结论还成立吗？请说明理由.ApB图①图②例4.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB>AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD,展开纸片（如图①）；再次

4、折亞该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸片后得到厶AEF（如图②）.小明认为AAEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中Za的大小.图①團②-4

5、£——D團⑤（2008-荆门）如图,矩形纸片ABCD中,AD二9,AB=3,将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,如图，矩形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠，使点D少点

6、B重合,折痕为EF,则EF的长为如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直和边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为cm.那么折痕EF的长为AEDC_本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它屈于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前厉图形的形状和大小不变，位置变化，对应边利对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定利性质，勾股定理,等腰三角形的性质求解.例6.如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则

7、图中阴影部分的面积是（）A.2B.4C.8D.10剪拼考点:翻折变换（折叠问题）；勾股立理分析:先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出ACEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在AABC中利用勾股定理即可求出AB的长.点评:木题考査的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和人小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.矩形纸片ABCD屮，AB=18cm,把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F,若AF=13，则AD的长为（）考九翻折变换（折盜问题）；勾

8、股定理；矩形的性质分纭根据折酋前后角相等可证AF二FC,在直角三角形ADF屮，运用勾股定理求解解答:解：根据折叠前后角相等可知厶ADF^ACEF,设DA=x,又AF=13,DF=18-13=5,在直角三角形ADF中，x2+52=132,解Z得，x=12cm.故选D点评:木题考查图形的翻折变换，解题过程中应注懣折叠是种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题屮折叠前后角相等.求线段•面积间的变化关系例5已知一三角形纸片ABC,面积为25,BC的长为10,?B和?C都为锐角，M为AB±的一动点(M与A、B不重合

9、)，过点M作MN//BC,交AC于点N,设MN-x.(1)用x农示ZSAMN的而积SAAMNo(2)AAMN沿MN折叠，设点A关于AAMN对称的点为A