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1、图形折叠问题的探究已知矩形纸片ABCD,AB=2,AD=1将纸片折叠，使顶点A与边CD±的点E重合.(1)如果折痕FG分别与AD,AB交于点F,G(如图(1),)AF=23.求DE的长.(2)如果折痕FG分别与CD,AB交于点F,G(如图(2),),AAED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长.(2012-南宁)如图,已矢I口矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD±的点E重合，折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；(2)如
2、图2,当AAED的外接【员I与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；(3)如图2,在(2)的条件下，求折痕FG的长.本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性.变式：已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点(与点A、B不重合)(1)如图①，现将ZiPBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD±取一点F,将APAF沿PF翻折得到APGF,并使得射线PE、PG重
3、合，试问FG与CE的位置关系如何，请说明理由；(2)在(1)中，如图②，连接FC,取FC的中点H,连接GH、EH,请你探索线段GH和线段EH的人小关系，并说明你的理由；(3)如图③，分别在AD、BC±取点F、C',使得ZAPF=ZBPC',与(1)中的操作相类似，即将APAF沿PF翻折得到zPFG,并将ZCPB‘沿CP'翻折得到ACPE'，连接CF',取CF'的屮点H,连接GH、EH,试问(2)中的结论述成立吗？请说明理由.PB图①图②例4.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB>AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落
4、在AB边上，折痕为AD,展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展平纸片后得到厶AEF（如图②）.小明认为AAEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D'处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤'I'Za的人小.DC（2008-荆门）如图，矩形纸片ABCD中，AD=9,AB=3,将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,如图，矩形纸片ABC
5、D中,AD=9,AB=3,将英折叠，使点D与点B重合,折痕为EF,则EF的氏为如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿着直线AD折磴，使亡落在斜边AB±,口与AE重合，则CD的长为cm.那么折痕EF的长为C-EBCf本题利用了：K折注的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折證前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理,等腰三角形的性质求解.例6.如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4,点E、F分别是AB、BC
6、的屮点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别樂”，则图中阴影部分的而积是（）A.2B.4C・8D.10考点:翻折变换（折叠问题）；勾股定理分析:先根据姬形的特点求出BC的长，再山翻折变换的性质得HIACEF^直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长.点评:本题考査的是翻折变换及勾股定理,熟知折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折替前后图形的形状和人小不变，位置变化，对应边和对应和相等是解答此题的关键.矩形纸片ABCD中，AB=18cm,把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，
7、AE交DC于点F,若AF=13,则AD的长为（）考点:翻折变换（折替问题）；勾股定理；矩形的性质分析:根据折叠前后和相等可证AF=FC,在直角三角形ADF中，运用勾般定理求解解答:解：根据折叠前后角相等可知厶ADF^ACEF,设DA=x,又AF=13,DF=18-13=5,在直角三角形ADF中，x2+52=132,解Z得，x=12cm.故选D点评:本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注盘折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题屮折叠前后角相等.求线段与面积间的变化关系例5已知一三角
8、形纸片ABC,面积为25,BC的长为10,?B和?C都为锐角，M为AB±的一动点（M与A、B不jR合），过点M作MN〃BC,交AC于点N,设MN=x.（1）用x表示AAMN的面积SAAMNo（2）AAMN沿MN折腔，设点A关于AAMN对称的点为Al,AA1MN与
