因式分解(运用公式法)

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1、Lconn拿师点拨学科：数学教学内容：因式分解（运用公式法）【主要内容】（一）运用公式法对多项式进行因式分解（1）平方差公式a2-b2=（a+b）（a—b）公式特征：①公式左边的多项式形式上是二项式，口能够写成某个数或某个整式平方的形式。这两项的符号相反，简记成“平方异号”②右边是这两数（整式）和与这两数（整式）差的积③公式屮的a,b既可以表示数，也可以表示字母，还可以表示单项式或多项式。（2）完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2a2-2ab+b2=（a-b）2公式特征：①左边相当于一•个二次三项式，其中两项是某数（式）的完全平方式，且这两个平方式的符号相同；中间一

2、项是这两数（式）乘积的2倍。②右边是这两数（式）和或差的完全平方。③公式中的a,b既可以表示数，也可以表示字母，还可以表示其它整式。（二）注意事项（1）认真观察，判断所要分解的多项式能否化成这两个公式的形式即（）2-（）2或（尸±2（）（）+（尸的形式。（2）有公因式时，耍先提公因式，再看能否套用公式。（3）特别要注意分解彻底。【讲一讲】例1将下列各式分解因式(1)x2-4y2(2)--x1+19(3)x4-lLconn解:(1)x2-4异=F_(2刃2=(X+2y)(x一2刃I•I•aII•I••I■I••a••••a2-b2=(a+Z)(a-b)191911(2)——x

3、2+1=l-(-x)2=(l+-x)(I--x)9333(3)%4-1=(%2)2-12=(%2+l)(x2-1)……还能再分解=(x2+l)(x-l)(x+1)说明：K(2)题中，也可以先提出-丄,即一-x2+1=--(x2-9)999=--(x+3)(x-3)=(l+-x)(l--x),这两种写法是等效的。2°为了避免差错，一定先写成()2-()2的形式，耍防止出现下血的错误:X2一4y2=(x+4y)(兀一4y)例2.分解因式(1)0.25y3-4y(2)20m3n3—45mn(3)(x-3y)2-16x2解：(1)0.25屮—4y=y(0.25y2-4)——先提公因

4、式=y(*y+2)(*y-2)=y[^y)2-x2]—写成()2-(尸的形式(2)20/773h3—45mn=5zm7(4m-9)=5mn[(2mn)2-32]=5mn(2mn+3)(2mn一3)Lconn(1)(x-3y)2-16x2=(x-3y)2-(4x)2=(x—3y+4x)(x一3y—4x)=(5x一3y)(-3x一3y)……还没分解完=_3(兀+〉‘)(5兀_3)丿)例3.把下列各式分解因式(1)in4+2m2+1z192.(2)—x——xy+93(3)14a-1-49/解：⑴叨4+2叨2+1=(血2)2+2w2*1+12=(w2+1)2a2+2丿，l+'b2=

5、(a+莎⑵£宀

6、砂+尹2=(})2_2・gx)y+弄=(*一刃2••・■?:ee•••ita4-8a2/?2+16/?4■•i(••・■：■/-2'a・D+屏=(a_i)2(3)4a--49a2=-(1-14g+49q2)=-[l2-2x7axl+(7a)2]=-(l-7tz)2说明：a2±2ab^b2=(a±b)2时，先找要分解的多项式中，有没有两个同号的平方项，如果有，再找这两项乘积的2倍。(2)如果这两个平方项都是负号，如例3(3),只需先提出“一”号即可，考虑套用完全平方公式。例4.分解因式

7、>KU(2)—3/+24兀’—48兀’解：(1)674-8tz2/?2

8、+16/?4=(a2)2-2-a2・4沪+(4沪尸=(护一4方2)2……还能分解=[(a+2b)(a-2b)]2=(d+2b)2(a—2b)2(2)-3x7+24x5-48x3=-3x3(x4-8x2+16)=-3x3[(x2)2-2x2-4+42]=-3x3(%2-4)2=-3x3[(x-2)(x+2)12=-3x3(x-2)2(x+2)2例5.分解因式(x2-2x)2+2(x2-2x)+1解：设兀2_2兀=y，贝u原式=y2+2y+1=(y+I)2……再将y换成/一2x=(X2一2兀+1)2……括号中又可以用公式=[(X-1)2]2=(X-1)4例6.填空(1)9x2+

9、3xy+()=(3兀+丄y)2(2)9x2+()x+l=()2(1)—+ma+a2=(a+n)2,贝0m=(),n=(解:10(I)只需将等式右边乘法计算出來，就可知括号中应填一y?4•(2)由于9x2+()兀+1=(3兀尸+()x+l2=(3x±l)2因此括号中应填:9x2+(±6)x+1=(3x±1)2(1)rhT*—fmci+q$=(tz+/i)~4即一ma+a=a〜+2cm+nr1即〃*■=—,m=2n4则n=±—,m-±12说明：如果一个二次三项式(或町看成是二次三项式的多项式)中有两个平方式，另一项是这