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1、浅谈数形结合思想在高考解题中的应用5号海口市琼山中学叶永海摘要:数形结合思想是数学解题中常用的思想方法。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维。关键词：数形结合高考数形结合思想是数学解题中常用的思想方法。数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。数形结合就是根据数学问题的条件与结论之间的内在
2、联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。如果把抽象的数学知识与具体的图形结合起来，挖掘和利用概念中的直观成分，充分利用这种结合，寻找解题思路，将无形的解题思路形象化，能有效降低教学难度，使问题化难为易、化繁为简，有助丁把握数学问题的本质。在高考的考试说明也明确的指出“淡化特殊技巧，强调思想方法”。纵观多年来的高考试题，数形结合思想方法也是重点考查内容Z—，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。下面根据自己这儿年來的教学经验，结
3、合高考题中的实例谈谈自己对巧用数形结合思想在高考解题的一些认识。一、数形结合解决集合问题：常常借助于数轴、Venn图来解决集合的运算,使问题得以简化，运算快捷明了。(2010辽宁理数)已知A,B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且AQB二{3},q(BQA)二⑼，则A=()A.{1,3}B{3,7,9}C.{3,5,9}D.{3,9}解析：根据题冃所提供的条件，用Verm图(如右图)。由图可知A二{3,9}【点评】本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，但通过直接运算不易得出结果，利用用数形结合思想，以形代
4、数，把抽象化直观，轻松的解决。二、利用数形结合解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。(2009年海南)设/(x)=min{2v,x+2,10-x}(x>0),则/⑴的最大值为()A.4B.5C.6D.7解析：构造函数y=2蔦y=x+2,y=10—x,并画出函数图象（如右图），观察图象可知，①当0WxW2时，函数f（x）=2X±存在最小值②当2WxW4时，函数f（x）=x+2上存在最小值，③当x>4时，函数f（x）=10-x±存在最小值，综上所
5、述，f（x）的最大值在x=4时取得为6,故选C.・【点评】借助函数图象，不仅很好地理解题意，而轻而易举地得出了于（兀）的最大值，这是“以形助数”，否则，需要用解不等式组的方式求得/（兀）的分段表达式，并求岀每段上的最人值。从中选出最大值，那将是很繁琐的，环节很多,出错率高.三、利用数形结合解决方程的根问题：处理问题时，将方程的根问题看作两个函数图象的交点问题.（2002年江西）方程IgA=sin%的实数根的个数解析：构造两个函数）=1时和并在同个一坐标系里画出函数图象。【点评】此方程是一个超越方程，用代数方法求解该方程是很困
6、难的用数形结合，方程的解就是函数图象的交点的横坐标，因此这两个函数的图象交点的个数即为方程解的个数，突出了对转化思想和数形结合思想的考查.四、利用数形结合解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.（2010江苏卷）定义在区间0,—上的函数y二6cosx的图像与y=5tanx的图<2丿像的交点为P,过点P作PPi±x轴于点P”直线PP占y=sinx的图像交于点P2,则线段P巴的长为o解析:女口图，由题意得6cosx=
7、5tanx即6cosx=5sin兀/2「•,6cosx=5sinxcosx6(1-sin2x)=5sin兀,6sin2x+5sinx-6=0得sinx=
8、,结合图象分析得:sinx二刖2二彳ty:y*=.5tanx//y=6cosx71人/以形助数,【点评】本题通过代数方法是无法解决，可利用数形结合思想,画出三角函数的图象，观察图象发现
9、P.P2
10、=sinxo五、利用数形结合解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求冃标函数的故值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用.(2010上海文数）满足线性约束条
11、件2x+y<3,x+2y<3,x>0,y>QA・1.B・IC.2.D.3.解析：把目标函数z=x+y转化为直线.象可知，当直线过点B（l,l）时,根据线性约束条件作岀平面区域（如上图）兀+込，将最值问题转化为截距问题，根据图刁有最大值，最大值为2【点评】本题如果通过代数方法，由于满足不等式
