2019届高三数学第五次月考试题理

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2019届高三数学第五次月考试题理1．已知全集U＝R，集合，B＝{x|x≤0}，则（A）∩B＝A．（－1，0）B．（－∞，－1）C．（－1，0]D．（－∞，0]2．若复数z满足2z＋1＝2i，则A．B．C．D．3．若向量，，则A．B．5C．20D．254．右图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是A． B．C．D．5．设x，y满足约束条件则z＝－2x－y的最小值是A．－8B．－7C．－6D．－46．在公差为2的等差数列{an}中，a3－2a5＝4，则a4－2a7＝A．－4B．－2C．－6D．－87．某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为A．B．C．D．8．已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1与圆M关于x轴对称，Q为圆M上的动点，当Q到直线y＝x＋2的距离最小时，Q的横坐标为 A．B．C．D．9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入A．n是偶数，n≥100B．n是奇数，n≥100C．n是偶数，n＞100D．n是奇数，n＞100 10．在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是A．甲、乙B．乙、丙C．丙、丁D．甲、丁11．将函数的图象向左平移个单位长度后得到f（x）的图象．若f（x）在（，）上单调递减，则φ的取值范围为A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]12．设双曲线Ω：（a＞0，b＞0）的左顶点与右焦点分别为A，F，以线段AF为底边作一个等腰△AFB，且AF边上的高h＝|AF|．若△AFB的垂心恰好在Ω的一条渐近线上，且Ω的离心率为e，则下列判断正确的是A．存在唯一的e，且e∈（，2）B．存在两个不同的e，且一个在区间（1，）内，另一个在区间（，2）内C．存在唯一的e，且e∈（1，）D．存在两个不同的P，且一个在区间（1，）内，另一个在区间∈（2，）内二、填空题13．若x＝1是函数的一个极值点，则a＝________．14．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S7－S5－3（a4＋a5），则的最小值为________．15．若的展开式中x3的系数为80，则a＝________．16．在四面体ABCD中，AD⊥底面ABC，，BC＝2，点G为△ ABC的重心，若四面体ABCD的外接球的表面积为，则tan∠AGD＝________．三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝1，，3sinB＝2sinA．（1）求角C的大小；（2）求的值．18．如图，三棱锥B－ACD的三条侧棱两两垂直，BC＝BD＝2，，E，F，G分别是棱CD，AD，AB的中点．（1）证明：平面ABE⊥平面ACD；（2）求二面角A－EG－F的余弦值．19．自xx10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系．某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州－福州－广州－海口－北海（广西）－河内－吉隆坡－雅加达－科伦坡－加尔各答－内罗毕－雅典－威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市．（1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目n（10≤n≤13，n∈N*），统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：月需求量（单位：万件）100110120130月份数6241812若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？ 20．已知椭圆C1：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，且C1过点，圆O是以线段F1F2为直径的圆，经过点A且倾斜角为30°的直线与圆O相切．（1）求椭圆C1及圆O的方程；（2）是否存在直线l，使得直线l与圆O相切，与椭圆C1交于C，D两点，且满足？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数．（1）求g（x）的单调区间与最大值；（2）设f（x）＝x·g（x）在区间（0，e]（e为自然对数底数）上的最大值为－1－ln10，求a的值．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（2sinθ－cosθ）＝m（1）求曲线C的普通方程；（2）若l与曲线C相切，且l与坐标轴交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．23．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f（x）＝3|x－a|＋|3x＋1|，g（x）＝|4x－1|－|x＋2|．（1）求不等式g（x）＜6的解集；（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．高三数学试卷参考答案（理科）1．C2．A3．B4．D5．B6．B7．A8．C9．D10．C11．D12．A13．314．4 15．－216．217．解：（1）由，得cos2C＋cosC＝0，所以2cos2C＋cosC－1＝0，解得，cosC＝－1（舍去）．从而．（1）因为3sinB－2sinA，所以3b＝2a．又a－b＝1，所以a＝3，b＝2．根据余弦定理口可得，所以．18．（1）证明：因为BC＝BD，E是棱CD的中点，所以BE⊥CD．又三棱锥B－ACD的三条侧棱两两垂直，且BC∩BD＝B，所以AB⊥平面BCD，则AB⊥CD．因为AB∩BE＝B，所以CD⊥平面ABE，又平面ACD，所以平面ABE⊥平面ACD．（2）解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，则A（0，0，），G（0，0，），E（1，1，0），F（0，1，），，，设平面EFG的法向量为n＝（x，y，z），则，即，令，则． 由（1）知，平面AEG的一个法向量为，所以．由图可知，二面角A－EG－F为锐角，故二面角A－EG－F的余弦值为．19．解：（1）记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，则，所以该公司所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为．（2）设该产品每月的总利润为Y．①当n＝10时，Y＝1000万元．②当n＝11时，y的分布列为Y9501100P0.10.9所以E（Y）＝950×0.1＋1100×0.9＝1085万元．③当n＝12时，y的分布列为Y90010501200P0.10.40.5所以E（Y）＝900×0.1＋1050×0.4＋1200×0.5＝1110万元．④当n＝13时，Y的分布列为Y850100011501300P0.10.40.30.2所以E（Y）＝850×0.1＋1000×0.4＋1150×0.3＋1300×0.2＝1090万元．综上①②③④可知，当n＝12时，E（Y）＝1110万元最大，所以欲使公司该产品的总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间．20．解：（1）易知F1（－c，0），F2（c，0），A（a，0），圆O的方程为x2＋y2＝c2． 由题可知，解得a＝2，，c＝1．所以椭圆C1的方程，圆0的方程为x2＋y2＝1．（2）假设存在直线l满足题意．（i）当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝±1．当l：x＝1，C（1，），D（1，），，，所以．同理可得，当l：x＝－1时，．（ii）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，设C（x1，x2），D（x2，y2），因为直线l与圆O相切，所以，即m2＝k2＋1①，联立方程组，整理得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由根与系数的关系得．因为，所以，则，即x1x2＋y1y2＝0．所以x1x2＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝（1＋k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝0，所，整理得7m2－12k2－12＝0②，联立①②，得k2＝－1，此时方程无解．由（i）（ii）可知，不存在直线l满足题意．21．解：（1）g（x）的定义域为（0，＋∞）．因为，所以．令g′（x）＝0，得x＝e．当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，在（0，e）上g（x）是增函数；当x∈（e，＋∞）时，g′（x）＜0，在（e，＋∞）上g（x）是减函数， 所以．（2）因为f（x）＝x·g（x）＝ax＋lnx，所以，x∈（0，e]，则．①若，则f′（x）≥0，从而f（x）在（0，e]上是增函数，所以f（x）max＝f（e）＝ae＋1≥0，不合题意．②若，则由f′（x）≥0，，得．由，得，从而f（x）在（0，]上为增函数，在[，e]为减函数，所以．由，得a＝－10．22．解：（1）由y＝2t－1，得，，即（y＋1）2＝2（x＋1），故曲线C的普通方程为（y＋1）2＝2（x＋1）．（2）由ρ（2sinθcosθ）＝m，得2y－x＝m，联立，得y2－2y＋2m－1＝0，因为l与曲线C相切，所以Δ＝4－4（2m－1）＝0，m＝1．所以l的方程为2y－x＝1，不妨假设A（0，），则B（1，0），线段AB的巾点为（，）．所以，又OA⊥OB，故以AB为直径的圆的直角坐标方程为，其对应的极坐标方程为． 23．解：（1）由题意可得，当x≤－2时，－3x＋3＜6，得x＞－1，无解；当，－5x－1＜6，得，即；当，3x－3＜6，得．综上，g（x）＜6的解集为．（2）因为存在x1，x2∈R，使得f（x1）＝－g（x2）成立，所以{y|y＝f（x），x∈R}∩{y|y＝－g（x），x∈R}．又f（x）＝3|x－a|＋|3x＋1|≥|（3x－3a）－（3x＋1）|＝|3a＋1|，由（1）可知g（x）∈[，＋∞]，则－g（x）∈（－∞，]．所以，解得．故a的取值范围为[，]．