(文数)简化和避免分类讨论的几种非常规策略(论文资料)

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1、数学中简化和避免分类讨论的几种非常规策略分类讨论思想是中学数学中重数学思想要方法之一。但学牛在解决相关问题时，常常感觉是比鮫困难几易出现错误。因此尽量简化讨论，甚至避免讨论成为达到解题成功的一种重要保证，要做到这一点，就要仔细观察题目中隐含信息、充分挖掘数学问题屮潜在的特殊性,打破常规，从而简化，其至避免讨论。本文介绍儿种处理分类讨论问题的非常规策略，供大家参考。1.必要条件，简化讨论例1使不等式sin，兀+dcos兀+/>1+cosx对一切xeR成立的负值g的取值范围是例2设他为常数，冃％=3心—2%_(n为正整数)(i)证明对任意n>1,an=

2、[3rt+(一1)心

3、T]+(-1)2%(ii)假设对任意n>l,有an>%,求兔的取值范围2•合理选式，回避讨论例3设｛色｝是由正数项组成的等比数列，S”是其前n项和，求证：塩十朋*<]gs“例4己知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(兀),y())的切线方程。例5已知函数f(x)=ax--2x+2在［1,4］上恒成立，/(x)>0,求参数Q的取值范亂3.反客为主，回避讨论例6设k为实数，试求出关于X方程/一2也2+疋+2P一3=0的实根的范围。4正难则反，简化讨论例7如果二次函数f(x)=mx~4-(in-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求in的取值范围。例

4、8—个工人照看三台机床，在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要照看的概率分别为0.9、0.8、0.85,在一小时内，求至少冇一台机床盂要照看的概率。参考答案1必要条件，简化讨论例1分析：二次函数取最值。通常是在顶点或区间端点。细心观察。取特珠值，对避免讨论。解：因题设不等式对一切成立，则当兀=0时，不等式仍成立。即得6Z+6Z2>2,故。<一2或（因d取负值，舍去）。只需证a<-2时，不等式成立即可.而此时sirrx+qcosx+gnsirrx+a+a>2+sin~x>cosx+cos**x+sinx=1+cosx所以。取值范围是（-8,-2].例2、证明；（i）略：（ii

5、）6Zw>an_.对任意斤21成立的必要条件是当n为1和2时成立此时l+laA=1-2d。>aQ解得aQ<—由a2>aAo丄（9一4）+4兔）>1一2d（）oa（）〉0现证0<勺<丄是对任意n>,an>g”_i成立的充分条件。显然只需证明当n>2时，色〉色_1即可,因03"-3心一3x2/,_15an-1

6、>2x3n-1-3x2n-1>0综上

7、所述，对任意n>1,an>色_]成立的q（）取值范围是（0,£）注：在上述证明中，根据题目特点，应用绝对值性质，巧妙放缩，避免了对n奇偶性的讨论。2合理选式，回避讨论例3分析：若直接应用求和公式，则需要对g=l和两种情况分类讨论，但若合理选择应用公式：S“二S”+qmSn_m（n>rn可避免讨论。证明：设仏」的公比为q,由题设知S]=%>0,vSn+I=Sw+qSn,S“+2=S]+gS”+iSn•S“+2-S；+i=Sn(S]+gS”i)一(S]+qSn)Sn+1=S{(S“一Srt+l)=-axan+x<0即S”•S”+2

8、课本上的一个例题，教材川直线方程求解，分M在坐标轴上和不在坐标上两种情况分类讨论。若我们应用向虽。则无须讨论。解：设直线上任一点为P(x,y)圆心为0,则PM-OM=0即(兀-兀oko+(y—yo).vo=o，整理得3+s=琮+>?o又点M在圆上,所以总+yl=r2所求切线方程为：號+)沙=厂2例5分析：若直接rfl/(x)>0成立去求d的取值范围，则需耍讨论，注意到只有二次项系数含有参数Q且x〉0,可通过换元来避免讨论。29解：因为当15兀54时，ax2—2x+2〉0u>d——+市>0xx令t=-,则-0,x4设g(t)=2t2-2t^a则

9、g(r)=2t--一*+°〉0恒成立，知gn]in(/)>0，故g(£)〉0解得d>丄23反客为主，回避讨论例6分析：若直接求解，再对k讨论，困难较大，换个角度看问题，把k看成主元,则易解。解:将原方程整理为k的二次方程2+2(1-/冰+兀2_3=0因k为实数，故A=4(l—兀2)2一4(兀2一3)»0,即2-?>0,解得—©Sxv"4正难则反，简化讨论例7分析：若从正面解答，则需对“两交点均在原点右侧”、“一个交点在右侧另一•个交点在左侧”等情况进行讨论，较繁兀。而其反面则为“在右侧无交点”较简单，故从反面入手。解：二次函数图象与x由两