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《专题08 函数与方程-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、专题八函数与方程【考情解读】1.考查函数零点的个数和取值范围;2.利用函数零点求解参数的取值范围;3.利用二分法求方程近似解;4.与实际问题相联系,考查数学应用能力.【重点知识梳理】1.函数的零点(1)定义:如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零,即f(α)=0,则α叫做这个函数的零点.(2)变号零点:如果函数图象经过零点时穿过x轴,则称这样的零点为变号零点.(3)几个等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.2.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a
2、,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)<0,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点x0∈(a,b),使f(x0)=0.3.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步,确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0;第二步,求区间(a,b)的中点c1;第三步,计算f(c1):(1)若f(c1)=0,则c1就是函数的零点;(2)若f(a)f(c1)<0,则令b=c1(此时零点x0∈(a,c1));(3)若f(b)f(c1)<0,则令a=c1(此时零点x0∈(c1,b)
3、);第四步,判断x0是否满足给定的精确度;否则重复第二、三、四步.【高频考点突破】考点一 函数零点的判断例1、判断下列函数在给定区间上是否存在零点.(1)f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8];(2)f(x)=log2(x+2)-x,x∈[1,3].【解析】 (1)方法一 ∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,故f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.方法二 令f(x)=0,得x2-3x-18=0,x∈[1,8].19汇聚名
4、校名师,奉献精品资源,打造不一样的教育!∴(x-6)(x+3)=0,∵x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点.【探究提高】求解函数的零点存在性问题常用的办法有三种:一是用定理,二是解方程,三是用图象.值得说明的是,零点存在性定理是充分条件,而并非是必要条件.【变式探究】函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)【答案】B考点二 函数零点个数的判断例2、若定义在R上的偶函数f(x)满足
5、f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3
6、x
7、的零点个数是________.【答案】4【解析】由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.在同一坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3
8、x
9、的图象,如下:19汇聚名校名师,奉献精品资源,打造不一样的教育!观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3
10、x
11、有4个零点.【探究提高】对函数零点个数的判断方法:(1)结合零点存在性定理,利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数;(2)利用函数图象交点个数判断方程
12、根的个数或函数零点个数.【变式探究】函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】因为f′(x)=2xln2+3x2>0,所以函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)上递增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+1-2=1>0,所以有1个零点.考点三 二次函数的零点问题例3、已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围;(2)若方程两根均在区间(0,1
13、)内,求m的范围.【解析】(1)由条件,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图(1)所示,得⇒即-14、有且只有一解.(4)由已知条件f(1)f(3)<0,解得