高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题高效演练学案

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1、第2讲二次函数的最值二次函数是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础．当自变量在某个范围内取值时，求函数的最大（小）值，这类问题称为最值问题问题．最值问题在实际生活中也有广阔的应用．【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式：一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.2.二次函数的图象和性质解析式y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象对称性函数的图象关于x＝－对称

2、3.二次函数的最值（1）.当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．（2）.当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．【高效演练】81.二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是y＝________.【解析】设y＝a(x－2)2－1(a＞0)，当x＝0时，

3、4a－1＝1，a＝，所以y＝(x－2)2－1＝x2－2x＋1.【答案】x2－2x＋1.2.已知函数y=x2＋2ax＋1－a(x∈[0，1])有最大值2，则a＝________.【解析】函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，其图象的对称轴方程为x＝a.当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1.当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝(舍去)．当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝

4、2.【答案】－1或2.3.已知函数y=x2﹣2x+3，求下列情况下二次函数的最值（1）2≤x≤3；（2）-2≤x≤2．【分析】（1）根据二次函数y=x2﹣2x+3的图象和性质，分析当2≤x≤3时，y递增，进而可得y的最大值、最小值；（2）根据二次函数y=x2﹣2x+3的图象和性质，分析当-2≤x≤2．时，函数的单调性，进而可得y的最大值、最小值．8【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是求取最值的关键。4.二次函数y=ax2+bx+c（1）若a=1，b=﹣1，c=﹣2，求此抛物线与坐标轴的交点坐标．（2）若a=1，b=﹣4m，c=1﹣2m，当﹣1＜

5、x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，求m的取值范围．（3）若a=1，b=﹣4m，c=3，当﹣1＜x＜1时，二次函数的值恒大于1，求m的取值范围．【分析】（1）将a=1，b=﹣1，c=﹣2代入原式，得到二次函数的解析式，令y=0即可求出函数与x轴的交点；（2）将a=1，b=﹣4m，c=1﹣2m代入解析式，由于抛物线开口向上，分类讨论列不等式组解答：①△=0，x=1时，y＞0；x=﹣1时，y＞0；②x=1时，y＜0；x=﹣1时，y＞0；③x=1时，y＞0；x=﹣1时，y＜0．（3）将a=1，b=﹣4m，c=3代入解析式，令△＜0，x=1时，y＞0；x

6、=﹣1时，y＞0，列不等式组解答即可．8（2）将a=1，b=﹣4m，c=1﹣2m代入解析式得，y=x2﹣4mx+1﹣2m，∵当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点，∴可得以下几种情况：①，解得m=．②，解得m＞．③，解得m＜﹣1．∴综上，m＞，m＜﹣1或m=时当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有一个公共点．（3）将a=1，b=﹣4m，c=3代入解析式得，y=x2﹣4mx+3，∵当﹣1＜x＜1时，二次函数的值恒大于1，∴，解得﹣1＜m＜或﹣＜m＜．【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点坐标及函数图象与不等式组的关系，根据题意转化为相应的不等式组是解题

7、的关键．85.已知二次函数，其两根分别为0,5，且当时，最大值为12.(1)求函数的解析式；(2)当时，求函数的最小值．【解析】(1)因为是二次函数，两根分别为0,5,所以可设y＝ax(x－5)(a＞0)，所以当时,的最大值是f(－1)＝6a.由已知得6a＝12，所以a＝2，所以y＝2x(x－5)＝2x2－10x.(2)由(1)知y＝2x2－10x＝2－，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝.①当t＋1≤，即t≤时，y在上单调递减，所以h＝2(t＋1)2－10(t＋1)＝2t2－6t－8；②当t≥时,y在上单调递增，所以h＝2t2－10t；③当

8、t＜＜t＋1，即＜t＜时，y在x＝处取得最小值，所以最小值为－.综上所述，h＝6.已知y＝ax2－2x(0≤x≤1)．(1)求函数的最小