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《2018高中数学初高中衔接读本专题52三角形的重心垂心外心和内心精讲深剖学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第2讲三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角两数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系,因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。初屮阶段大家已经学习了三角形边上屮线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点(重心)、三条高线交点(垂心)、三条边的垂直平分线交点(外心)及三条内角平分线交点(内心
2、)的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等.(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心.(3)屮线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心.(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等.【典例解析】求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知：D、E、F分别为△ABC三边〃GCA、肋的屮点，求证：AD、BE、CF交于_点、,且都被该点分成2：1.【解析】证
3、明：QD、E分别为BC、力厂的中点，则DE//AB,且DE二丄AB,2NGDENGAB,II相似比为1：2,AG=2GD,BG=2GE.设肋、CF交于点G,同理可得，AG=2G'D,CG'=2G'F・则G与G‘重合，AD.BE、CF交于一点,且都被该点分成2:1.【解题反思】三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部,恰好是每条中线的三等分点.【变式训练】求证重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。已知：G为VABC的重心，求证：S'ABG~$VACG=SvaCG【分析】可联系重心的性质，重心为中线的三等分点即；GB,=在运用等
4、底，高成比例完成证明；【解析】证明：如图分别延长AG,BGg交三角形三边为&風且&九G分别为三边的中点,.hf=^h1“ZlJLBC>得：S^iCG同理可得：可证='dJCG【点评】将重心的性质借助相似比，推出了重心关于三角形面积的性质。同时应当想到它还有其它性质。【典例解析】己知vABC的三边长分别为BC=a,AC=b.AB=c,I为VABC的内心，且T在VABC的边BC、AC.AB上的射影分别为ZXE、F,求证：AE=AF=b+C'Q【解析】证明：作VABC的内切圆，则D、E、F分别为内切圆在三边上的切点，QAE.AF为圆的从同一点作的两条切线，AE=AFf同理，BD-
5、BF,CD-CE.Z?+c・a=AF+BF+AE+CE・BD・CD=4F+AE=2AF=2AE；hh人口4r?b+c・ci即AE=AF=.2【解题反思】三角形的三条角平分相交于一点，这个交点称为三角形的内心。内心到三角形三边的距离相等。【变式训练】1.若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.己知：0为三角形的重心和内心.求证：三角形为等边三角形.【解析】证明：如图，连/0并延长交滋于Q0为三角形的内心，故力〃平分DBAC,、AB_BD~AC~~DC（角平分线性质定理）Q0为三角形的重心，〃为％的中点，即昨DC.——=1,即AB=AC.AC同理可得，AB=B
6、C.VABC为等边三角形.【点评】等边三角形具有四心合一的性质。【变式训练】2.在三角形ABC中，G为重心，I为内心，若AB二6,BC二5,CA二4,求旦的值.【分析】根据BC三角形重心性质可得：3GI2=AI2+BI2+CI2-(AG2+BG2+CG2),求得GI后代入求值即可.L解析]三角形重心性质：3GP=AI2+BP+CI2_(Atf+BG^+CGP),AB=c=6,CA=b=5,BC=a=4..'.2s^=a+t>4-c=l5■又TAP出◎・AGP-汨+H十”s9/.AI2+BP+CI2=[(3+b+c)(bc+ca+ab)-6abc]-(a+b+c)=26,AG
7、2+BCP+CGP=(a24-b2+c2)今3,".3GP=26-77=1,33・・.GI=1,・・・山亠丄・3BC515【点评】本题考查了三角形的五心的知识，解题的关键是了解三角形重心性质：3GT2=AT2+BT2+CT2-(AG2+BG2+CG2).【典例解析】在ZXABC屮，H为垂心,BC=u,CA=b,AB=c,/?为ZABC外接圆半径，求证：AH2+a2=BH2+b2=CH2+c2.【解析】证明：如團:作△肋e的外接圆oo,连虫o并延长交外接圆于"，连碱，cm,则AM=2R・易知
