难点05 复杂数列的通项公式与求和问题（教学案）-备战2015年高考数学二轮复习精品资料（文理通用）（原卷版）

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1、数列在高考中占重要地位，每年都考，应当牢记等差、等比的通项公式，前n项和公式，等差、等比数列的性质，以及常见求数列通项的方法，如累加、累乘、构造等差、等比数列法、取倒数等。数列求和问题是数列中的重要知识，在各地的高考试题中频频出现，对于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式；而非等差数列、非等比数列的求和问题，一般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．数列的求和问题多从数列的通项入手，通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的

2、应用，属中档题．一、数列的通项公式1.由数列的前几项归纳数列的通项公式根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．例1.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式（1）-1,7，-13,19，…；（2）0.8,0.88,0.888，…；（3）－；思路分析：归纳通项公式应从以下四个方面着手：[来源:学科网ZXXK](1)观察项与项之间的关系；(2)符号与绝对

3、值分别考虑；(3)规律不明显，适当变形．点评：求数列的通项时，要抓住以下几个特征:(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2.由数列的递推关系求通项若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，(n>1)，则这个关系式称为数列的递推公式．9汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法：(1)an＋1－an＝f(n)型，采用叠加法．(2)

4、＝f(n)型，采用叠乘法．(3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，转化为等比数列解决．思路分析：（Ⅰ）直接把，3，代入，再注意，即可求出数列的前三项；（Ⅱ）先假设存在一个实数符合题意，得到必为与无关的常数，整理即可求出实数λ，进而求出数列的通项公式．点评：1.本题常见的误区：(1)忽视判定an＋1≠0；(2)遗漏验证n＝1时，a1是否适合通项公式；2．(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“叠加法”求an；已知a1(a1≠0)且＝f(n)，可用“叠乘法”；求an.an＋1＝(an≠0，p、

5、q为非零常数)，可用倒数法．(2)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列．3.由与的关系求通项数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，即要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．Sn与an的关系为：an＝例3.【广东省肇庆市2014年高三模拟考试】已知数列的前项和为，且满足，.则数列的通项公式.试题分析：当代入式子结合即可得到的值,当时,利用9汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！与的关系()即可得到

6、是一个常数,即可得到数列为等差数列,但是需要验证是否符合,进而证明为等差数列,即可求的通项公式.点评：1．本题主要考查利用赋值法求数列中的项，以及利用an与Sn的关系，借助累乘法求数列的通项公式．2．利用an＝Sn－Sn－1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n＝1致误，当n＝1时，a1若适合通项，则n＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则an应利用分段函数的形式表示．4.等差数列前n项和的最值等差数列的单调性与的最大或最小的关系.（1）若，则等差数列中有，即，所以数列为单调递增；当时，有，所以的最

7、小值为.当时，有则一定存在某一自然数，使或，则的最小值为.[来源:学_科_网Z_X_X_K]（2）若，则等差数列中有，即，所以数列为单调递减；当时，有则一定存在某一自然数，使或，则的最大值为.当时，有，所以的最大值为.例4.【广东省惠州市2014年高三年级第一次调研考试（理）】已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：.试题分析：（Ⅰ）求通项公式的关键是求出，所以通过等差数列的求和公式和等比中项将两个已知条件都转化为的关系式，解出9汇聚名校名

8、师，奉献精品资源，打造不一样的教育！，就可以求出等差数列的通项公式了.(2)先用裂项相消法求出的值，再通过作差法看出数列是递增数列，求出最大值和最小值，即得到证明.点评：求等差数列前n项和的最值常用的方法(1)先求an，再利用或求出其正负转折项，最后利用单调性确定最值．(2)①利用性质求出其正负转折项，便可求得前n项和的最值．②利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值．二数列