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《2012年高考(数学文)精英备考专题讲座第一讲 函数第二》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第一讲函数(文)第二节导数导数是文科生研究函数的单调性,求函数极(最)值等的重要工具之一,导数是历来高考的必考点.导数对文科生来说,在课标中增加了三角函数,指数,对数函数等的导数,导数在文科高考中必须引起重视.导数在历来高考中一般在一个小题、一个大题中出现.难度值控制在0.5~0.8之间.考试要求①了解导数概念的实际背景,理解导数的概念及其几何意义;②了解函数的单调性与导数的关系,会求函数的极大(小)值及闭区间上的最值;③能求一些初等函数的导数;④了解函数在
2、某点取得极值的充要条件;⑤能够用导数研究函数的单调性,利用导数解决某些实际问题.题型一初等函数的导数例1设函数,其中,且,求.点拨看清题目中变量和,的自变量是,为参变量,因此是三次函数;于是先对求导,再求,从而转化为已知三角函数值求角的问题.解∵∴,又,,∴,得.易错点①此题中含有两个字母,学生误以为是三角函数,求导数时按三角函数求导法则;.②容易忽略的范围.题型二初等函数的单调区间和极值例2已知函数在上是增函数,在上是减函数,且的一个根为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求证:还有不同于的实根、,且、、成等差
3、数列;(Ⅲ)若函数的极大值小于,求的取值范围.点拨第(Ⅰ)问中由已知得出函数的极大值点是,即可解出的值;第(Ⅱ)问要使成等差数列,必须,因此关键是将因式分解,再借助韦达定理推出、、三者的关系;用函数的思想分析第(Ⅲ)问,将看作是关于的函数第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com,题目即转化为求的值域问题.解(Ⅰ),是极大值点,.(Ⅱ)令,得或,由的单调性知,是方程的一个根,则.,方程的根的判别式.又,即不是方程的根有不同于的根、.,、、成等差数
4、列.(Ⅲ)根据函数的单调性可知是极大值点,,于是,令,求导,时,,在上单调递减,即.易错点在第(Ⅱ)问中学生对进行因式分解时易出错或不能因式分解,分解之后易忽视判断“不是方程的根”;第(Ⅲ)问中学生不易从函数的角度分析的取值范围.题型三导数与不等式例3已知函数的图像在点处的切线方程为(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)设是上的增函数.求实数的最大值;点拔①过三次函数图像上一点的切线方程可用导数求斜率,再用点斜式求直线方程,从而布列方程组求出的值;②利用“函数在某区间上递增(递减),其导数在这区间上恒大于(小于)
5、零”转化为不等式恒成立的问题.第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com解(Ⅰ)由及题设得即(Ⅱ)由得∵是上的增函数,∴在上恒成立.即在[]上恒成立,设.∵,∴,即不等式≥0在上恒成立.当时,设在上恒成立.当>0时,设,.因为>0,所以函数在上单调递增.因此∵∴即又,故.综上,的最大值为3.易错点有些学生错用是上的增函数的解为.题型四导数与解析几何例4已知函数.(Ⅰ)若函数的图像上存在点P,使P点处的切线与x轴平行,求实数a,b的关系式;(Ⅱ)若
6、函数在和时取得极值,且其图像与轴有且只有3个交点,求实数的取值范围.点拨本题的关键是将几何问题转化为代数问题.第(Ⅰ)问中“点P的存在性问题”转化为“方程解的存在性问题”;第(Ⅱ)问中“图像与轴有且只有3个交点”转化为“的极大值大于0,且极小值小于0”.解(Ⅰ),设切点为,则曲线在点P处的切线的斜率,第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com由题意,知有解,∴即.(Ⅱ)由已知可得和是方程的两根,∴,,∴,.∴,∴在处取得极大值,在处取得极小值.∵
7、函数的图像与轴有且只有3个交点,∴又,∴解得.易错点有些学生对三次函数图像与轴(或平行轴的直线)的交点问题难以从整体把握,难以找到几何问题转化为代数问题的切入点.求导由=0求求的值得出最大(小)值本节主要考查初等函数的导数;导数的运算;利用导数研究函数的极值、单调性;求切线等数形结合的思想和函数与方程的思想.点评:①求在的最值的方法:求导由=0求列表得出单调区间(极值)②求单调区间、极值的方法:③利用导数,求曲线在点处的切线方程,先求再求方程第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太
8、阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com