高考数学 精英备考专题讲座第一讲函数 第五节函数的综合应用2（理）

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1、第五节函数的综合应用(2)函数、导数、不等式等这三部分或它们的综合，在每年高考试题中都有大量出现，综合性都比较强，题目都有较高的难度；利用函数解不等式，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值等是考查的重点.特别今后，高考的应用题不一定是概率题，那么函数作为解决生活实际问题的重要方法，其应用题出现在高考试题中，并且可能常态化那也在情理之中.考试要求能结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的极大值、极小值以及生活中的优化问题.能够利用函数解决一些生活实际问题.题型一函数与不等式例设函数，则使得

2、的自变量的取值范围为（）A.B.C.D.点拨：由分段函数的表达式知，需分成两类：解析：由，则或，解该不等式组得，.选A例2已知函数f(x)=

3、lgx

4、.若0

5、lgx

6、的图象，由知，，考察函数的单调性可知，当时，函数单调递减，，故选C.易错点：例1分段函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式没注意到真数大于0，或没注意底数在（0，1）上时，或不等号的方向写错等；例2直接利用均值不等式求解得最小值为等错误.变式与引申1：已知函

7、数若在上单调递增，则实数的取值范围为．变式与引申2：已知二次函数，不等式的解集为．①若方程有两个相等的实根，求的解析式；②若的最大值为正数，求实数的取值范围．题型二函数与数列例3已知函数（1）求的值；（2）若数列，求列数的通项公式；（3）若数列{bn}满足，则实数k为何值时，不等式恒成立.点拨：（2）注意到，及，构成对进行运算；（3）求出，将裂项，并求和求出，再利用二次函数单调性求解.解：（1）令令（2）∵①∴②由（1），知∴①+②，得（3）∵,,∴,∴由条件，可知当恒成立时即可满足条件.设,当k＞0时，又二次函数的性质知不可能恒成立当k=0时，f（n）=

8、－n－2＜0恒成立；当k＜0时，由于对称轴直线∴f（n）在上为单调递减函数∴只要f（1）＜0，即可满足恒成立∴由，∴k＜0综上知，k≤0，不等式恒成立易错点：没有发现，可以结合，进行逆序求和；对不能裂项求和或求和中出错，对恒成立的讨论不够严谨造成错误.变式与引申3：已知定义在R上的函数，对于任意的实数a，b都有，且①求的值；②求的解析式（）变式与引申4：一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为件.经市场调查后得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量（件）与电视广告每天的播放量（次）的关系可用如图所示的程序框图来体现.①试写出该产

9、品每天的销售量（件）关于电视广告每天的播放量（次）的函数关系式；②要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加，则每天电视广告的播放量至少需多少次？题型三含参数的函数极值问题例4设x1、的两个极值点.（1）若，求函数f(x)的解析式；（2）若的最大值；（3）若，求证：点拨：（2）根据根与系数关系得出两根异号，则，再用导数求的最大值；（3）将不等式问题转化为求函数的最大值问题.解：（1）是函数f(x)的两个极值点，（2）∵x1、x2是f(x)是两个极值点，∴x1、x2是方程的两根.∵△=4b2+12a3，∴△>0对一切a>0，恒成立.由令在（0，4

10、）内是增函数；∴h(a)在（4，6）内是减函数.∴a=4时，h(a)有极大值为96，上的最大值是96，∴b的最大值是（3）证法一：∵x1、x2是方程的两根，，证法二：∵x1、x2是方程的两根，.∵x1

11、个计算单位，上午9点10分作为第一个计算人数的时间，即；9点为第二个计算人数的时间，即；依此类推，把一天内从上午9点到晚上24点分成了90个计算单位.（图1-5-2）1080036001124367290n对第个时刻进入园区的人数和时间（）满足以下关系（如图1-5-2）：，对第个时刻离开园区的人数和时间（）满足以下关系（如图1-5-3）：（1）试计算在当天下午3点整（即15点整）时，世博园区内共有多少游客？（2）请求出当天世博园区内游客总人数最多的时刻.（附）点拨：（1）计算出入园游客总数与出园游客总数，其差就是所求；（2）当入园游客总数与出园游客总数之差

12、最大，则游客总人数最多，按每段函数分别计算.解：（1）当且时，，当