天津市2013届高三数学总复习之综合专题_导函数(理)(教师版)

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1、........导函数（理）1、（单调区间、极值、最值问题）已知函数其中。（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（2）当时，求函数的单调区间与极值。解：（1）当时，求曲线在点处的切线的斜率为；（2）当时，在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值；函数在处取得极小值当时，在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值；函数在处取得极小值。2、（单调区间、极值、最值问题）设，函数，，，试讨论函数的单调性。解：对于，分段进行研究。对于，对分类：当时，，∴函数在上是增函数；当时，，令，得或（舍），.学习参考.........函数在上是减函数，

2、在上是增函数；对于，，对分类：当时，，函数在上是减函数；当时，由，解得；函数在上是减函数，在上是增函数。3、（单调区间、极值、最值问题）已知函数。（1）求函数的单调区间；（2）设，求函数在上的最小值。解：（1）定义域为，，令，则，当变化时，，的变化情况如下表：的单调增区间为；单调减区间为。（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，即时，在上单调递增，∴当时，在上单调递减，∴当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，∴下面比较的大小，∵∴若，若，.学习参考.........综上，当时，；当时，。4、（单调性问题）已知，函数，其中，

3、为自然对数的底数。（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）函数是否为上的单调函数？若是，求出实数的取值范围；若不是，请说明理由。解：（1）当时，，令，即，，解得。函数的单调递增区间是。（2）函数在上单调递增，对都成立，，对都成立。对都成立，即对都成立；令，则，在上单调递增，，。（3）若函数在上单调递减，则对都成立，即对都成立，对都成立，，即，这是不可能的，故函数不可能在上单调递减；若函数在上单调递增，则对都成立，即对都成立，对都成立，而，故函数不可能在上单调递增。.学习参考.........综上可

4、知函数不可能是上的单调函数。5、（不等式成立问题）已知函数，，。（1）求函数的单调递增区间；（2）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。解：（1），由，得，，，，又，∴函数的单调递增区间为，递减区间为。（2）不等式，即为令，当时，，则不等式即为；令，，在的表达式中，当时，，又时，，∴在单调递增，在单调递减，在时，取得最大，最大值为，因此，对一切正整数，当时，取得最大值，∴实数的取值范围是。6、（不等式成立问题）已知函数。（1）求函数的单调区间；（2）若不等式恒成立，试确定实数的取值范围；.学习参考.........（3）证明：①上恒

5、成立；②。解：（1）函数当时，则上是增函数当时，若时，有，若时有，则上是增函数，在上是减函数；（2）由（1）知，时递增，而不成立，故，又由（1）知，要使恒成立，则即可，由；（3）由（2）知，当时有恒成立，且上是减函数，，恒成立，即上恒成立；令，则，即，从而，成立。7、（不等式成立问题）已知函数，其中。（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（2）讨论函数的单调性；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。解：（1），由导数的几何意义得，于是，由切点在直线上可得，.学习参考.........解得，所以函数的解析式为。（2），

6、当时，显然，这时在，内是增函数；当时，令，解得；当变化时，，的变化情况如下表：所以在，内是增函数，在，内是减函数。（3）解：由（2）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当即对任意的成立，从而得满足条件的的取值范围是。8、（不等式成立问题）设函数，其中。（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围。解：（1）；当时，。令，解得，，。当变化时，，的变化情况如下表：.学习参考.........所以在，内是增函数，在，内是减函数。（2），显然

7、不是方程的根；为使仅在处有极值，必须恒成立，即有；解此不等式，得，这时，是唯一极值，因此满足条件的的取值范围是。（3）由条件可知，从而恒成立。当时，；当时，。因此函数在上的最大值是与两者中的较大者。为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当即在上恒成立；所以，因此满足条件的的取值范围是。9、（不等式证明问题）设，函数。（1）令，讨论在内的单调性并求极值；（2）求证：当时，恒有。解：（1）根据求导法则有，故，于是，列表如下：.学习参考.........故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值。（2）证明：由知，的极小值；于是由上表知

8、，对一切，恒有；从而当时，恒有，故在内单调增加；所以当时，，即；故当时，恒有。10、（不等式证明问题）已知函数。（1）求在上的最小值；（2）若存在（是常数，＝2.71828），使