167;1.3概率的公理化定义及概率的加法公式.ppt

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1、§1.3概率的公理化定义及概率的加法公式1一、概率的公理化定义性大小，记为上所有事件组成的集合．事件设是某个随机试验的样本空间，为发生的可能是事件Ａ的固有属性，需要强调的是，的固有属性一样．它随着事件Ａ的确定而确定，就像“质量”是物体一旦事件Ａ给定了，我们知道不知道它是多少，能不能计算它，那是就确定了．至于技术问题，属于另一回事．2是一个映射从对应关系来说，（函数就是一种特殊的映射）．熟知，只有当定义域和对应法则确定之后，一个映射才算确定了．在这里，映射P的定义域试问映射P的对应法则是什么?是映射P没有通常的函数解析式，1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛

2、夫解决了映射P的对应法则问题，这在概率论发展史具有重大意义．柯尔莫哥洛夫（1903～1987)3映射P的对应法则由下面三条公理确定，这就是我们通常所说的概率的公理化定义．概率：上所有事件组成的集合，为设某个随机试验的样本空间为称满足下列三条公理的称满足下列三条公理的映射为1º非负性若则2º正则性4简而言之，概率是以加的正则的非负函数．为定义域的可列可3º可列可加性若是一列两两互不相则容的事件，即从现在开始，我们称其中的“Ｐ”是英文单词“probability”的首写字母，表示“概率”的意思．为事件Ａ的概率．5在概率论发展的历史上，有许多关于概率的定义，

3、其中包括在下一节的概率的古典定义和概率的几何定义，这些定义各适合一类随机现象．概率的公理化定义既概括了历史上几种概率定义中的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处，不管什么随机现象，只有满足定义中的三条公理，才能说它是概率．概率的公理化体系迅速获得举世公认，是概率论发展史上的一个里程碑．有了这个公理化定义后，概率论得到很快的发展．6二、概率的基本性质可列可加性公理☎由此可得证性质1.17证可列可加性公理性质1.1性质1.2(概率的有限可加性)若两两互不相容，即则8概率的有限可加性☎当直接计算一个事件的概率难于实现时，可以通过计算其对立事件的概率来完成

4、，这种“绕圈子”的方式在概率计算问题中经常被采用．性质1.3(对立事件的概率公式)对任何事件A，有证注意，A与互不相容，且9概率的有限可加性移项得所需结论．性质1.4(真差概率公式)若则证当时，A与B-A互不相容，10由真差的概率公式可得下面三条性质：性质1.7(概率的减法公式)对任意两个事件A和B，有性质1.6对任意事件A，有性质1.5(概率的单调性)若则11解由概率的单调性，同理，把上面两者综合起来，得试问：在什么条件下取到最大值，最大值是多少?例1.4设A和B是两个事件，12可见，当时上述不等式中的＂＝＂号成立，此时取到它的最大值，最大值是0.6

5、．另外，当时，上述不等式中的也是取到它的最大值0.6的一个充分条件．“＝”号也成立，所以13三、概率的加法公式证定理1.1(关于两个事件的概率的加法公式)对任意两个事件A和B，有所以14例1.5由长期统计资料得知，某一地区在４月份每天下雨的概率为4/15，刮风的概率为7/15，既刮风又下雨的概率为1/10，求４月份的任一天下雨或刮风至少有一种发生的概率．从而，由概率的加法公式得所求概率为解在４月份中任取一天，令A={下雨}，B={刮风}，则15解试问：在什么条件下取到最小值，最小值是多少?例1.6设A和B是两个事件，可见，当时，上述不等式取到它的中的＂

6、＝＂号成立，此时最小值，最小值是0.4．16注意，并不意味着当然，若值0.4．也取到它的最小类似地，我们可以证明下面两个定理．17定理1.2(关于三个事件的概率的加法公式)对任意三个事件A，B，C有18定理1.3(概率的一般加法公式)对任意个事件有我们也称这个公式为“多除少补原理”．19解问题归结于求例1.7设个发生的概率．求事件A，B，C中至少有一20由概率的加法公式得所求概率为21