向量组的线性相关性2.ppt

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1、线性相关性的概念线性相关性的判定小结思考题第二节向量组的线性相关性定义4给定向量组A：a1,a2,…,am,如果存在不全为零的数k1,k2,…,km,使一、线性相关性的概念则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．注意：1.若a1,a2,…,am线性无关，则只有当k1=k2=…=km=0时，才有：⒉对于任一向量组不是线性相关的，就是线性无关的。3.向量组只包含一个向量时，若a=0，则说a是线性相关的，若a≠0，则说a是线性无关的。4.包含零向量的任何向量组是线性相关的。5.对于包含两个向量的向量组，它线性相关的充分必要条件是两向量的分量对应成比例，

2、几何意义是两向量共线。三个向量相关的几何意义是三向量共面。向量组a1,a2,…,am(当m≥2时)线性相关的充分必要条件是a1,a2,…,am中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示．证明充分性设a1,a2,…,am中有一个向量（比如am）能由其余向量线性表示.即有二、线性相关性的判定故因λ1,λ2,…,λm-1,（-1）这m个数不全为0，故a1,a2,…,am线性相关.必要性设a1,a2,…,am线性相关，则有不全为0的数k1,k2,…,km使因k1,k2,…,km中至少有一个不为0，不妨设k1≠0，则有即a1能由其余向量线性表示.证毕.线性相

3、关性在线性方程组中的应用结论定理4下面举例说明定理的应用.证明（略）(可通过齐次线性方程组的解的情况得到。)解例4解例5分析证定理5证明说明说明例7设向量组a1,a2,a3线性相关，向量组a2,a3,a4线性无关，证明：证(1)因a2,a3,a4线性无关，由定理5(1)知，a2,a3线性无关，而a1,a2,a3线性相关，由定理5（4）知a1能由a2,a3线性表示。(2)用反证法假设a4能由a1,a2,a3线性表示，而由(1)知，a1能由a2,a3线性表示，因此a4能由a2,a3线性表示，这与a2,a3,a4线性无关矛盾。(1)a1能由a2,a3线性

4、表示；(2)a4不能由a1,a2,a3线性表示。１.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；２.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）３.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）四、小结思考题证明（１）、（２）略．（３）充分性必要性思考题解答