双重最值问题的求解策略.doc

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双重最值问题的求解策略江苏省南通市通州区石港中学高志军最值问题贯穿于高中数学的始终，是高中数学的重点和难点问题，也是历年高考的热点问题.最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能.近年来，最值试题更加注重于学生思维能力的考查，常常要求先求所给出一组函数或一组变量的最大（小）值，再求所求得的最大（小）值的最小（大）值，我们称这类问题为双重最值问题.双重最值问题综合性强，知识覆盖率高，解题方法灵活，需用数形结合、转换化归等重要的数学思想和方法.我们学生面对这类问题常常束手无策，本文将根据自己的一点体会，归纳出解决这类问题所必须掌握的基本知识和基本处理方法.一般地，记表示中中的最大值，表示中中的最小值.策略一：数形结合.已知两个函数，求两个函数的最大（小）值，再求所得最大（小）值中的最小（大）值.这种题型，一般先作出两个函数的图象，结合图象，用分段函数的形式写出两个函数的最大（小）值，再结合图象具体求解.xyOAB例1、函数，其中，求最小值.解：作出函数和，的图象.由得交点，.∴=.结合图象，可知，当时，最小值等于.评注：对于(或)的最小（大）值问题，可作出有关函数图象，转化为直观图形来解决，这样大大简化了解题过程.策略二：取等求解.已知有限个变量，求这些变量中的最大（小）值中的最小（大）值，这类问题可特殊化，令所有变量都相等，在这些变量都相等条件下具体求解.先看两个命题.4 命题1：对于两个变量，若有解，则存在最小值，当且仅当是的解时，记，则取最小值为.命题2：对于两个变量，若有解，则存在最大值，当且仅当是的解时，记，则取最大值为.命题1证明：∵时，此时，记，不妨设时，；时，.当时，=，∴最小值为.当时，=，∴最小值为.即取最小值为.同理，可证命题2.命题1和命题2中变量个数可推广到任意有限个.例2、设实数均不小于1，且，则的最小值是.此题是南通市2013届高三第二次调研测试13题，据统计，平均得分约0.83分，可见，我们学生对这种双重最值问题感到比较陌生，不能快速、正确求解.解：令，因为实数均不小于1，则.因为，所以，则.因为实数均不小于1，所以，即，当且仅当时取“=”.所以的最小值是9.评注：个变量的双重最值问题，当这个变量都相等且有解时，我们可特殊化，转化为求个变量都相等时的变量所对应的值，即为所求的最值.策略三：放缩转换.一般地，若存在最小（大）值，设（），则都小于等于（大于等于）4 ，而后通过转换进行解题.例3、当正数变化时，求的最小值.解：设，则∵为正数，∴，则又（当且仅当时取“=”）.∴即.所以,的最小值为.这种解题策略,对于例2同样可进行求解,请看例2解法二：令，则，又因为实数均不小于1，∴，∴，因为∴，当且仅当时取“=”.即的最小值是9.评注：解决这类双重最值问题，可设，则问题可以转化为，通过对各个变量放缩转换进行求解,同时要特别注意,放缩后等号成立的条件.这种解题策略是解决双重最值问题最最基本的策略.策略四：降元化归.事实上，，，.对于求（）个变量中的最大（小）值中的最小（大）值，我们可通过降元，求-1个变量中的最大（小）值中的最小（大）值.4 由此，可得到例2解法三：.当且仅当时取“=”.所以的最小值是9.评注：一类双重最值问题，若个变量中的一些元素地位等价时，可以去掉其中一个或一些，进行降元求解.为了进一步体会双重最值问题求解策略，我们再举一例.xyO例4、已知为坐标原点，，，，，记、、中的最大值为，当取遍一切实数时，求的最小值.解：设外接圆半径，当是的外心时，=，当在其它任何位置时，＞，所以.因为是的外心，所以在的中垂线上，设，则.由＝得，，即，化简得.∵任意实数，∴，即，∴或..则当时，，的最小值为.最值问题涉及到高中数学知识的各个方面,是高中数学的一个重点，双重最值问题更是最值问题中的难点.解决这类问题要灵活合理地运用函数与方程、转换与化归及数形结合等思想方法，要求仔细审题，充分利用好题设中的条件，更要综合运用各种技能,灵活选择合理的解题途径,从而保证顺利、正确完成解题.双重最值问题的求解策略，只有在多体会多运用的基础上，才能做到真正的理解和掌握.4