函数最值问题求解策略.doc

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函数最值求解策略函数最值问题求解策略055350河北隆尧一中焦景会最值问题遍及代数、三角、立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有广泛的应用。最值问题长期是各类考试的热点，求函数最值常用方法有：一、配方法配方法是求二次函数最值或可转化为二次函数的函数最值的基本方法，形如的函数最值问题，均可使用配方法。例1、已知，求函数最值。解：由，得。又函数f(x)定义域[1,3]，所以函数定义域为，解得，所以。由二次函数单调性得，，所求函数最大值为，最小值为6。评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围，和对称轴与区间的相对位置关系。二、判别式法主要适用于可化为关于x的二次方程的函数,把函数转化成关于x的一元二次方程，通过方程F(x,y)=0有实根，判别式，当x的范围是R时,仅考虑即可,当X的范围非R时,还需要结合图形另解不等式。特别的，形如不同是为0）分子、分母无公因式的函数最值常用此法。例2、求下列函数最值（1）；（2）。解；（1）由，得。当y=0时,x=0;当时,由得,故原函数最小值为，最大值为。（2）将已知函数式变形为,焦景会第4页2021-7-28 函数最值求解策略即，显然，将上式视做关于x的一元二次方程。,即上述关于x的一元二次方程有实根，所以，解得。又，函数最小值为。评注:若在解的过程中经过变形,从而扩大了的取值范围,利用判别式求出的范围后，应综合函数的定义域,将扩大部分剔除。三、换元法主要有三角换元和代数换元换两种。用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围。特别的，形如均为常数，且）的函数常用此法求解。例3、求函数最小值。解：令，则，则，所以，所求函数最小值为。注：（1）换元前后的等价性。题中，而不是看解析式有意义的t取值范围；（2）换元后可操作性。例4、 求函数的最大值和最小值。解:，令x=tan，则f(x)=f(θ)=，∴当sinθ=时,最大值为，当sin=-1时,最小值为。四、数形结合法主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值。例5、　已知x2+y2-2x+4y-20=0求x2+y2的最值。分析:本题已知条件转化为(x-1)2+(y+2)2=25,可用三角代换转化为三角函数最值问题处理,也可借助几何图形数形结合处理。解:　作x2+y2-2x+4y-20=0的图形,它是圆心在P(1,-2)半径为5的圆,依题意有x2+y2焦景会第4页2021-7-28 函数最值求解策略=2x-4y+20,设x2+y2=z,则z=2x-4y+20即,其图形是斜率为且与已知圆相交的一簇平行线,于是求z的最值问题就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最小问题。由平面几何知识知,圆心P(1,-2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径,即，即，故，故x2+y2最小值为，最大值为。五、函数的单调性法（1）关于自变量x的一次根式，如，用换元法求解,当ad>0时，也可利用单调性求最值；；（2）形如的函数常考虑利用单调性，当x>0时，函数单调减区间，单调增区间为，因其函数图象形如“√”，故称为对号函数，其分界点为。对于x<0情况，可依据函数奇偶性解决；（3）复合函数的最值，常用此法求解。例6、求函数,的最小值。解：由在上是增函数，得f(x)在上最小值为。例8、求函数的最小值解：设，均为减函数，所以y也是减函数。又定义域为，即。当时，，故原函数最小值为。例7、求函数的最小值。解：设，则。由，知当时，u为减函数；当时,u为增函数，而为减函数，故在时为增函数，在时为减函数，所以时，原函数最小值为。六、不等式法运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正、二定、三相等”．焦景会第4页2021-7-28 函数最值求解策略例8、求函数(x>-1，a>0)的最小值。解:=，当,即x=0时等号成立,=1。七、导数法设函数f(x)在[a,b]上连续在(a,b)上可导,则f(x)在[a,b]上的最大值和最小值应为f(x)在(a,b)内的各极值与f(a),f(b)中的最大值和最小值。例9、　 动点P(x,y)是抛物线y=x2-2x-1上的点,O为原点,当x=2时，取得极小值,求的最小值。解:=x2+y2=x2+(x2-2x-1)2=x4-4x3+3x2+4x+1，令f(x)=x4-4x3+3x2+4x+1,则=4x3-12x2+6x+4=4(x-2)(x-)(x-,令=0,得x=2,,x2(2,)f(x)-0+0-0+f(x)极小值极大值极小值因定义域为R,故所求最小值为两个极小值中较小的一个,f()=，f(2)=5,故f(x)的最小值，即的最小值为。焦景会第4页2021-7-28