2020版高考数学大二轮复习课时作业12点、直线、平面之间的位置关系文.docx

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1、课时作业12 点、直线、平面之间的位置关系1.[2019·四省八校联考]如图,平面PAD⊥平面ABCD,∠ABC=∠BCD=90°,PA=PD=AD=AB=2CD=2,H为PB的中点.(1)求证:CH∥平面PAD;(2)求点C到平面PAB的距离.解析:(1)证明:取PA的中点E,连接HE,DE,则EH綊AB.又CD綊AB,∴EH綊CD,四边形CDEH为平行四边形,∴CH∥DE,又DE⊂平面PAD,CH⊄平面PAD,∴CH∥平面PAD.(2)取AD的中点F,连接PF,FB,AH,则∠PFB=90°,PF=,BF=,PB=,AH=,∴S△PAB=××=,

2、连接AC,则V三棱锥C-PAB=V三棱锥P-ABC,设点C到平面PAB的距离为h,∴××h=××2××,∴h==.∴点C的平面PAB的距离为.2.[2019·兰州市诊断考试]如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,△PCD为正三角形,∠BAD=30°,AD=4,AB=2,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.(1)证明:BE⊥PC;(2)求多面体PABED的体积.解析:(1)证明:∵BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=4,∴BD=2,∴AB2+BD2=AD2,∴AB⊥BD,∴BD⊥CD.∵平面PCD⊥平面ABC

3、D,平面PCD∩平面ABCD=CD,∴BD⊥平面PCD,∴BD⊥PC.∵△PCD为正三角形,E为PC的中点,∴DE⊥PC,∴PC⊥平面BDE,BE⊂平面BDE,∴BE⊥PC.(2)如图,作PF⊥CD,EG⊥CD,F,G为垂足,∵平面PCD⊥平面ABCD,∴PF⊥平面ABCD,EG⊥平面ABCD,∵△PCD为正三角形,CD=2,∴PF=3,EG=,∴V四棱锥P-ABCD=×2×2×3=4,V三棱锥E-BCD=××2×2×=,∴多面体PABED的体积V=4-=3.3.[2018·江苏卷]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1

4、C1.求证:(1)AB∥平面A1B1C;(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.证明:本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,所以AB1⊥A1B.因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂

5、平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB1⊥平面A1BC,又因为AB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.4.[2019·东北四市联合体模拟(一)]如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD的中点,将△ADE沿AE折到△APE的位置.(1)证明:AE⊥PB;(2)当四棱锥P-ABCE的体积最大时,求点C到平面PAB的距离.解析:(1)证明:在等腰梯形ABCD中,连接BD,交AE于点O.∵AB∥CE,AB=CE,∴四边形ABCE为平行四边形,∴AE=BC=AD=DE,∴△ADE为等边三角形,∴在

6、等腰梯形ABCD中,∠C=∠ADE=,BD⊥BC,∴BD⊥AE.如图,翻折后可得,OP⊥AE,OB⊥AE,又OP⊂平面POB,OB⊂平面POB,OP∩OB=O,∴AE⊥平面POB,∵PB⊂平面POB,∴AE⊥PB.(2)当四棱锥P-ABCE的体积最大时,平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE=AE,PO⊂平面PAE,PO⊥AE,∴OP⊥平面ABCE.∵OP=OB=,∴PB=,∵AP=AB=1,∴S△PAB=××=,连接AC,则VP-ABC=OP·S△ABC=××=,设点C到平面PAB的距离为d,∵VP-ABC=VC-PAB=S△PAB·

7、d,∴d===.5.[2019·郑州市第二次质量预测]如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=,△PAD是等边三角形,F为AD的中点,PD⊥BF.(1)求证:AD⊥PB;(2)若E在线段BC上,且EC=BC,能否在棱PC上找到一点G,使平面DEG⊥平面ABCD?若存在,求出三棱锥D-CEG的体积;若不存在,请说明理由.解析:(1)证明:连接PF,∵△PAD是等边三角形,∴PF⊥AD.∵底面ABCD是菱形,∠BAD=,∴BF⊥AD.又PF∩BF=F,∴AD⊥平面BFP,又PB⊂平面BFP,∴AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到

8、一点G,使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF,∵PD⊥BF,AD∩PD=D,∴BF⊥平面PAD.

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