(理数)2017年高考压轴大题突破练(四)函数与导数(2).doc

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1、（理数）高考压轴大题突破练(四)函数与导数(2)1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，在x＝0处的切线与直线3x＋y＝0平行．(1)求f(x)的解析式；(2)已知点A(2，m)，求过点A的曲线y＝f(x)的切线条数．2．已知函数f(x)＝2x2－alnx(a∈R)．(1)若a＝4，求函数f(x)的极小值；(2)试问：对某个实数m，方程f(x)＝m－cos2x在x∈(0，＋∞)上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数a的范围；若不存在，请说明理由．3．已知函数f(x)＝alnx－bx2

2、.(1)当a＝2，b＝时，求函数f(x)在[，e]上的最大值；(2)当b＝0时，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围．4．(2014·大纲全国)函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)设a1＝1，an＋1＝ln(an＋1)，证明：

3、＝3x2－3，所以切线斜率k＝3t2－3，切线方程为y－(t3－3t)＝(3t2－3)(x－t)．又切线过点A(2，m)，代入得m－(t3－3t)＝(3t2－3)(2－t)，解得m＝－2t3＋6t2－6.设g(t)＝－2t3＋6t2－6，令g′(t)＝0，即－6t2＋12t＝0，解得t＝0或t＝2.当t变化时，g′(t)与g(t)的变化情况如下表：t(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)g′(t)－0＋0－g(t)极小值极大值所以g(t)的极小值为g(0)＝－6，极大值为g(2)＝2.作出函数草图可知：①当m

4、>2或m<－6时，方程m＝－2t3＋6t2－6只有一解，即过点A只有一条切线；②当m＝2或m＝－6时，方程m＝－2t3＋6t2－6恰有两解，即过点A有两条切线；③当－61时f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上是增函数．故函数f(x)的极小值为f(1)＝2.5(2)假设方程f(x)＝m－cos2x在

5、x∈(0，＋∞)上存在三个不相等的实根，设F(x)＝2x2－alnx＋cos2x－m，由于F(x)在x∈(0，＋∞)上的图象连续不断，则F′(x)＝4x－－2sin2x(x>0)有两个不同的零点，即a＝4x2－2xsin2x(x>0)有两个不同的解．设G(x)＝4x2－2xsin2x(x>0)，则G′(x)＝8x－2sin2x－4xcos2x＝2(2x－sin2x)＋4x(1－cos2x)．设h(x)＝2x－sin2x，则h′(x)＝2－2cos2x≥0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当x>0时，h(x)>

6、h(0)＝0，即2x>sin2x.又1－cos2x>0，则G′(x)>0，故G(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a＝4x2－2xsin2x(x>0)至多只有一个解，故假设不成立，即不存在满足条件的实数a.3．解　(1)由题意知，f(x)＝2lnx－x2，f′(x)＝－x＝，当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<；令f′(x)<0，得

7、∈(1，e2]都成立，则alnx≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，即m≤alnx－x，对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，5令h(a)＝alnx－x，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min.∵x∈(1，e2]，∴lnx>0，∴h(a)在[0，]上单调递增，∴h(a)min＝h(0)＝－x，∴m≤－x对所有的x∈(1，e2]都成立．∵1

8、′(x)＝.①当10，f(x)在(－1，a2－2a)是增函数；若x∈(a2－2a,0)，则f′(x)<0，f(x)在(a2－2a,0)是减函数；若x∈(0，＋∞)，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)是增函数．②当a＝2时，f′(x)≥0，f′(x)＝0成立当且仅当x＝0，f(x)在(－1，＋∞)是增