基与正交基,特征值与特征向量.ppt

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1、教学目的掌握基与正交基的定义，掌握向量内积与长度的概念与性质，掌握正交向量组的性质与基的正交化方法。掌握特征值与特征向量概念，会求矩阵的特征值与特征向量作业重点正交基与基的正交化方法练习册交：P37-P38和P41－42难点同上讲授方法投影与板书结合讲授内容主线基－坐标－内积－长度－正交－正交组－正交基－求与已知向量正交的向量－正交组性质－正交化方法－特征值与特征向量－特征多项式－特征向量求法内容概括任意最大无关组组成的基经过施密特正交化以后，可变成以内积、长度和施瓦茨不等式为基础定义的规范正交基。特征值与特征向量则依赖于行列式和齐次线性方程组求解。

2、班级：时间：年月日；星期第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量1友情提示本次课讲第五章第一、二节，向量组的内积与正交，特征值概念下次课讲第五章第二三节，特征值，相似矩阵与对角化下次上课时交作业P41～422一、向量空间的最大无关组——基的概念1.基的定义设V为向量空间，如果r个向量∈V,满足（i）线性无关；（ii）V中任一向量都由线性表示，那么，向量组称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间.特别地：如果向量空间V没有基则V的维数为0。0维向量空间只含一个零向量0.2.结论1：任何n个线性无关的n维向量都是向量空间Rn的一

3、个基，由此可知Rn的维数为n.分析：因为任意n＋1个n维向量线性相关，所以按照线性相关的线性表示定理，任意一个无关向量以外的n维向量都能由这n个线性无关的n维向量线性表示。显然，n个无关向量可自身表示，故以上结论成立。第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量34.向量由基线性表示的系数——坐标3.过渡矩阵概念：第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量4例4:设验证是R3的一个基，并求在这个基中的坐标.解因R(A)=3，故为R3的一个基，第十二讲：方程组解的解构与向量空间5且第十二讲：方程组解的解构与向量空间6第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量7二、向

4、量的内积与长度1.内积的定义定义1设有n维向量2.内积的性质设x,y,z为n维向量，λ为实数.(i)性质(ii)(iii)(iv)且当时有第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量8对于施瓦茨不等式，我们证明2维向量的情形（V）施瓦茨不等式3.向量的度量：（长度的概念及其性质)定义2令称为n维向量x的长度（或范数）.向量的长度（范数）有下列性质：1.非负性当时，当时，第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量92.齐次性3.三角不等式当时，称为单位向量.证:用施瓦茨不等式来解析[x,y]第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量101.正交向量组的概念的引入：由

5、此可得：向量的内积满足施瓦茨不等式：当时，称为n维向量与的夹角.特殊地：零向量与任何向量都正交.（2）正交向量组定义：如果向量组向量两两正交，则称为正交向量组三、向量的正交与正交基称与正交.当时，（1）正交定义：第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量112.正交向量组的性质（无关性）证设有使以左乘上式的两端，得定理1若n维向量是一组两两正交的非零向量线性无关.则因，所以从而必有，即同理可得：因此向量组线性无关.第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量123.如何求与已知向量组正交的向量（组）：4.正交基（1）正交基的定义：用正交向量组作向量空间的基，称

6、为向量空间的正交基第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量13第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量（2）规范正交基的定义设n维向量是向量空间V（VRn）的一个基如果两两正交，且都是单位向量，则称为V的一个规范正交基.例1已知3维向量空间R3中两个向量正交，试求一个非零向量，使两两正交.解：记应满足齐次线性方程，即14由得得基础解系令，第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量15首先把正交化：取5.求正交基——将基正交化的施密特方法正交化方法：设是向量空间V的一个基，要求V的一个规范正交基，也就是要找一组两两正交的单位向量，使与等价。这样一个问题，称为把

7、这个基规范正交化.步骤如下：第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量16第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量而且，由正交化过程，显然A、B两组向量可互相线性表示17再把单位化：第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量18例2已知求一组非零向量使两两正交.解都应满足方程，即得基础解系：取及及把基础解系正交化：取即为所求.第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量19第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量20第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量213.正交矩阵与正交变换的概念定义4如果n阶矩阵A满足（即），那么称A为正交矩阵.第十二讲：基与正交基，特征值与特

8、征向量22亦即(6)性质：正交变换不改变向量的长度设为正交变换，第十二讲：基与正交基，特征值与特征向量23正