自回归移动平均模型.doc

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1、第二章自回归移动平均模型一些金融时间序列的变动往往呈现出一定的平稳特征，由Box和Jenkins创立的ARMA模型就是借助时间序列的随机性来描述平稳序列的相关性信息，并由此对时间序列的变化进行建模和预测。第一节ARMA模型的基本原理ARMA模型由三种基本的模型构成：自回归模型（AR，Auto-regressiveModel），移动平均模型（MA，MovingAverageModel）以及自回归移动平均模型（ARMA，Auto-regressiveMovingAverageModel）。2.1.1自回

2、归模型的基本原理1．AR模型的基本形式AR模型的一般形式如下：其中，c为常数项，模型的系数，为白噪声序列。我们称上述方程为阶自回归模型，记为AR()。2．AR模型的平稳性此处的平稳性是指宽平稳，即时间序列的均值，方差和自协方差均与时刻无关。即若时间序列是平稳的，即，，。为了描述的方便，对式（2.1）的滞后项引入滞后算子。若，定义算子“L”，使得，L称为滞后算子。由此可知，。对于式子（2.1），可利用滞后算子改写为：移项整理，可得：AR()的平稳性条件为方程的解均位于单位圆外。3．AR模型的统计性质（

3、1）AR模型的均值。假设AR()模型是平稳的，对AR()模型两边取期望可得：根据平稳序列的定义知，，由于随即干扰项为白噪声序列，所以，因此上式可化简为：所以，（2）AR模型的方差。直接计算AR()模型的方差较困难，这里引入Green函数。AR()模型可以改写成如下形式：设为平稳AR()模型的反特征根，则。进一步，其中，为常数，，称为Green函数，因为均在单位圆内，所以Green函数是呈负指数下降的。对上式两边取方差，可得：由于随机干扰项为白噪声序列，所以。因为Green函数是呈负指数下降，所以，这

4、说明平稳时间序列方差有界，且等于常数。（3）自协方差函数。假设将原序列已经中心化，则，则对AR()模型等号两边同时乘以，两边取期望得：因为当期的随机干扰项与过去的时间序列值无关，所以：。因此，上式可以化为：其中，表示阶自协方差。2.1.2移动平均模型的基本原理1．MA模型的基本形式MA模型的一般形式如下：其中，为常数项，为模型的系数，为白噪声序列。我们称上述方程为阶移动平均模型，记为MA()。2、MA模型的可逆性对于一个MA()模型：将其写成滞后算子的形式：若方程的根全部落在单位圆外，则称MA模型是

5、可逆的。可逆性可以保证MA模型可以改写成：即MA模型可以转化为AR模型，同时可以保证参数估计的唯一性。3、MA模型的数字特征（1）均值当时，对于一般的MA（q）模型：两边取期望，可得：即一般的MA（q）模型的期望值即为模型中的常数项。（2）方差对MA（q）模型，两边取方差：（3）协方差函数化简可得：2.1.3自回归移动平均模型的基本原理1、ARMA模型的基本形式ARMA模型的一般形式如下：显然ARMA(p,q)模型可看成是AR(p)模型和MA(q)模型相结合的混合形式。2、ARMA模型的平稳性和可逆

6、性对于一个ARMA（p，q）模型，将其写为滞后算子的形式：两边同时除以其中：由此可以看出，ARMA模型的平稳性完全取决于AR（p）模型的参数，与MA（q）模型的参数无关。类似地，ARMA模型的可逆性完全取决于MA（q）模型的参数，与AR（p）模型的参数无关。3、ARMA模型的数字特征（1）期望对于一个一般的ARMA(p,q)模型两边同时取期望，化简得：（2）自协方差函数第二节时间序列的相关性分析与平稳性2.2.1时间序列的自相关系数2.2.1.1自相关函数（ACF）1、AR（p）的自相关函数在上一节

7、中已经介绍了AR（p）模型的协方差函数满足下式：由于自相关系数，因此：该式表示自相关系数满足p阶差分方程。根据差分方程解的性质，上差分方程的通解可以写为：其中，为任意不全为0的常数，是滞后多项式的反特征根。根据平稳性的性质，。从自相关系数的一般形式可看出，始终不为0，但是随着滞后阶数的增加，自相关系数慢慢逼近0，在图形上表现出一定的拖尾性。2、MA模型的自相关函数根据上一节推导的MA模型的自协方差函数的表达式，MA模型的自相关函数表示为：因此，当k>q时，自相关函数为0，也就是说MA（q）模型的自相

8、关函数在q步以后是截尾的。3、ARMA模型的自相关函数根据ARMA模型的自协方差函数，不难得到ARMA模型的自相关函数：由此可以看出，ARMA模型的自相关函数不具有截尾性。事实上，ARMA模型若满足可逆性，其形式相当于一个无穷阶的AR模型，因此自相关函数与AR模型一样具有拖尾性。2.2.1.2偏自相关函数（PACF）1、偏自相关函数的定义自相关函数不能纯粹地表示与之间的相关性，两者的相关性还会受到、……的间接影响，为了单纯地表示与之间的相关性，这里引入偏自相关函数。偏