矩阵乘法的性质.ppt

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1、矩阵乘法的性质我们知道实数乘法运算满足一定的运算律。即对实数a，b,c有结合律：（ab）c=a（bc）；交换律：ab=ba;削去律:设a≠0,如果ab=ac,那么b=c;如果ba=ca,那么b=c探究类比实数乘法的运算律，二阶矩阵的乘法是否也满足某些运算律？首先考察矩阵的乘法是否满足结合律。例如，对于矩阵A=，B=,C=,可以得到（AB）C==A（BC）==于是有（AB）C=A（BC）一般地，设二阶矩阵A=B=C=一方面AB==从而（AB）C==另一方面，BC==从而A（BC）==因此（AB）C=A（BC）所以，二阶矩阵

2、的乘法满足结合律即性质结合律设A,B,C是任意的三个二阶矩阵，则A（BC）=（AB）C设A是二阶矩阵，n是任意自然数，规定Aº=称为二阶单位矩阵，记作A¹=AA²=AA¹A³=AA²………..称为A的n次方幂根据矩阵乘法的结合律可以证明，二阶矩阵A的次方幂具有如下性质==其中k,l是任意自然数例1设A=，求。解法一（根据定义）A²=A·A==A³=A·A²===A·A³===A·===A·==解法2：根据定义及方幂的性质A²=A·A==A³=A·A²===·==下面考察二阶矩阵的乘法是否满足交换律。我们从某些具体的二阶矩

3、阵所对应的线性变换对平面图形的作用效果入手，例如：矩阵确定的伸缩变换β：=矩阵:=变换·β对单位正方形区域的作用结果如图2.2.-1所表示；变换β·对单位正方形区域的作用结果如图2.2-2111-12.2-111111-2.2-2比较土图2.2-1和2.2-2可以看到，β·≠·β由于二阶矩阵与线性变换是一一对应的，因此有≠实际上，对于矩阵A=，B=.通过直接计算也可以得到这个结果AB==BA==于是AB≠BA所以，我们有结论：矩阵的乘法不满足交换律。注意（对于某些矩阵A,B也可能有AB=BA）最后，考察二阶矩阵的乘法是否

4、满足削去律，我们也从具体线性变换入手，例如：设I表示有单位矩阵确定的恒等变换矩阵A=确定的是伸缩变换β：=矩阵B=确定的是投影变换λ：=可以得到，复合变换λ·I对单位正方形区域的作用结果如图2.2-3111111复合变换λ·β对单位正方形区域作用结果如图2.2-411111于是λ·I与λ·β对单位正方形区域的作用效果相同。事实上，不难证明λ·I=λ·β从而，B=BA。但≠A类似地，可以得到，B=AB但≠A，所以我们有结论：矩阵的乘法不满足削去律.综上所述，矩阵的乘法运算满足结合律，但不满足交换律和削去律我们知道，对任意实

5、数a,1·a=a·1=a,二阶矩阵中=也有相当于实数1的作用：设A=任意的二阶矩阵，则A==A==从而A=A=A正式在二阶矩阵的乘法运算中扮演这样的角色所以我们称为二阶单位矩阵。