《导数与微分》PPT课件.ppt

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1、导数与微分第二章导数与微分导数与微分§２-１导数的概念导数与微分一、导数的定义问题的提出１１、变速直线运动的速度已知物体的运动方程S=S(t),求t时刻的瞬时速度。导数与微分２、质量非均匀分布的细杆线密度已知质量m=m(x),求某点的线密度。抽象为数学概念：平均变化率：当　　　时的极限称为x0处的导数。导数与微分导数derivative定义1p24记为：变化率：函数在点的变化速度。定义2：导函数的概念：如果函数f(x)在区间(a,b)内都可导，则区间(a,b)内每一点x，都有一个导数值与之对应，就定

2、义了一个新的函数，即函数f(x)在区间(a,b)内对x的导函数derivedfunction。导数与微分左导数和右导数f’(x0)存在的充分必要条件是左右导数存在并相等。导数与微分几何意义：　　是曲线在点　　　的切线斜率。物理意义：各种物理量的变化率。如：速度、加速度、电流、角加速度、感应电动势等。求求导方法：（1）求出函数的增量ABxyx0X0+△x△x△yαφMoMTdy导数与微分２、作出比值：３、求出　　　　时　　的极限。二、可导与连续的关系函数在点连续，指,可导是存在。定理：如果y=f(x)

3、在点x0处可导，则它在点x0处一定连续。导数与微分逆命题不成立。例：例3p24结论：连续是可导的必要条件，但不是充分条件。即可导一定连续，连续不一定可导。三、导数的基本公式：导数与微分例4：常数函数的导数设自变量增量，恒有则因此导数与微分例5：幂函数（n为正整数）的导数即：导数与微分对于n为任意实数时，上式也成立。例7：正弦函数的导数导数与微分xxsin)(cos'-=例6：对数函数的导数导数与微分特别地，当时，有导数与微分导数与微分导数与微分§2-2导数的运算法则一、导数的四则运算定理1如果u、v

4、都是x的可导函数，则函数也是x的可导函数，可以推广到有限多个函数的代数和。导数与微分定理2如果u、v都是x的可导函数，则y=uv也是x的可导函数，特别地，当u=c(c为常数时)，可以推广到有限多个函数的乘积的情况。导数与微分定理3如果u、v都是x的可导函数，且则函数也是x的可导函数，证明2设当自变量有增量时，函数对应增量导数与微分例:例1、2、3、4p26导数与微分二、复合函数求导法则定理4如果函数在点x可导，在与x对应的u点可导，则复合函数在点x也可导，且dxdududydxdy=导数与微分证明：

5、自变量增量导数与微分结论：复合函数的导数等于因变量对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。（链锁法则）可以推广到有限次复合函数的求导例题p28例5－9导数与微分例：例：导数与微分例：解：函数是幂指函数，先化为指数函数，两边取对数(或)例：导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分xyAB6m10m导数与微分三、隐函数的求导方法显函数：函数可表示为其中f(x)由x的解析式表示。隐函数：自变量x与因变量y的对应关系由F(x,y)=0来确定。例如：y不能显化为x的函数导数与微分方法：将方程两边

6、对x求导，在求导过程中，将y看做中间变量（因为y是x的函数），对含有y的函数的项按复合函数的求导法则求导。然后解出y’.例题：p29例10－13导数与微分四、取对数求导方法幂指函数－底数与指数都含有自变量的函数。方法：两边取对数，用隐函数求导方法求导。例：例14、15、16p30五、基本初等函数的导数公式p30导数与微分六、高阶导数一阶导数：，一般仍是x的函数。二阶导数：如果仍可导，则把的导数称为f(x)的二阶导数。记为一般，n-1阶导数的导数叫做f(x)的n阶导数，记为高阶导数：二阶或二阶以上的导

7、数。例：p31例17－19方法：按求导法则逐阶求导，有些函数n阶导数有规律。导数与微分导数与微分导数与微分导数与微分§2－3变化率模型一、独立变化率模型例1、2、3p32直接计算因变量对自变量的导数。二、相关变化率模型例4、5、p33建立相关变量等式，分别计算各变量对时间的变化率。导数与微分hr24例5p33导数与微分三、边际函数导数与微分例：例6、7p34导数与微分§2-3函数的微分一、微分的概念例1：边长为x正方形，面积S=x2,边长增加Δx,面积增量：x0Δxx第一部分是Δx的线性函数第二部分

8、比Δx更高阶无穷小量。导数与微分定义1：如果函数在点x可导，则称f(x)在点x处的导数与自变量增量的乘积为函数y=f(x)在点x的微分记为dy=df(x)=通常自变量的增量称为自变量的微分，导数与微分函数的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，导数也称微商differentialquotient。（可导又称可微）以前将dy/dx看成导数的整体记号，现在它像普通分式一样可运算变形。例：p35例2导数与微分例：正圆锥容器如图。装有1000ml水，如再加10ml水，水面升高