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1、引言从15世纪初文艺复兴时期起,欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展,形成了一个新的经济时代.而十六世纪的欧洲,正处在资本主义萌芽时期,生产力得到了很大的发展.生产实践的发展对自然科学提出了新的课题,力学、天文学等基础科学的发展,而这些学科都是深刻依赖于数学的,因而也推动了数学的发展.在各类学科对数学提出的种种要求中,下列三类问题导迫切要求引言类学科对数学提出的种种要求中,下列三类问题导致了微分学的产生:(1)(2)(3)这三类实际问题的现实原型谓函数的变化率问题.牛顿从第一个问题出发,尼茨从第二个问题出发,为莱布完在数学上都可归结函数相对于自变量变化而变化
2、的快慢程度,即所分别给出了导数的概念.求变速运动的瞬时速度;求曲线上一点处的切线;求最大值和最小值.瞬时速度已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时刻t0+Δt的位置是s(t0+Δt)=OA1,则从t0到t0+Δt这段时间内,物体的位移是:在时间段(t0+Dt)－t0=Dt内，物体的平均速度为:平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也即需要通过瞬时速度来反映.如果物体的运动规律是s=s(t)，那么
3、物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt0时的平均速度:一、引例引例1.变速直线运动的瞬时速度设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)以t0为起始时刻物体在t时间内的平均速度为此平均速度可以作为物体在t0时刻的速度的近似值t越小近似的程度就越好因此当t0时极限就是物体在t0时刻的瞬时速度.自由落体运动的瞬时速度问题：如图,取极限得PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.求曲线y=f(x)在点M(x0y0)处的切线的斜率在曲线上另取一点N(x0+xy0+y)
4、作割线MN设其倾角为j观察切线的形成引例2.平面曲线的切线问题当x0时动点N将沿曲线趋向于定点M从而割线MN也将随之变动而趋向于切线MT此时割线MN的斜率趋向于切线MT的斜率.引例3.产品总成本的变化率设某产品的总成本是产量的函数,即当产量由变到时,总成本相应的改变量为故当产量由变到时,总成本的平均变化率为当时,如果极限存在,则称此极限是产量产品总成本的变化率当产量由变到时,总成本相应的改变量为故当产量由变到时,总成本的平均变化率为当时,如果极限存在,则称此极限是产量产品总成本的变化率当产量由变到时,总成本相应的改变量为故当产量由变到时,总成本的平均变化
5、率为当时,如果极限存在,则称此极限是产量为时的总成本的变化率.完上面三个例子分别属于不同领域,一为运动问题，一为几何问题,一为经济问题，但都要求计算函数值的改变量与自变量的改变量之比,在当自变量的改变量无限趋于零时比值的极限.此外,很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,脱离这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性,便得出函数导数的概念.二、导数的定义定义设函数在点的某个领域内有定义,当自变量在处取得增量(点仍在该领域内)时,相应地函数取得增量若与之比当时的极限存在,处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为则称函数在点或导数的定义的导数,记为或即导数定义的其它
6、形式:令令完如果上述极限不存在则称函数f(x)在点x0处不可导关于导数的几点说明它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度;(1)(2)就称函数在开区间内可导;(3)且及都存在,就称在闭区间上可导;导,点导数是因变量在点处的变化率,如果函数在开区间内的每点处都可如果在开区间内可导,函数f(x)在开区间(ab)内可导是指函数在区间内每一点可导函数f(x)在闭区间[ab]上可导是指函数f(x)在开区间(ab)内可导且在a点有右导数、在b点有左导数关于导数的几点说明(4)都对应着的一个确定的导数值,个函数叫做原来函数的导函数,记作这或注意:(i)(ii)的逼近函
7、数.完导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率利用定义求导数1.(1)(2)(3)例1求函数在处的导数按定义求导的基本步骤:求函数的增量求两增量的比值求极限解当由1变到时,函数相应的增量为利用定义求导数例1求函数在处的导数解当由1变到时,函数相应的增量为所以完左右导数函数在点处导数增量与自变量的增量比值的极限,因而根据左右极限的概念概念:左导数右导数实质上是函数在这点的下列方式引入左右导数的我们可按左右导数右导数定理1函数在点处可导左导数和右导数都存在且相等.完注:该定理常被用于判定分段函数在分段点处是否可导.补例解求
