一类具有垂直传染和预防接种的SEIR传染病模型.pdf

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第26卷第4期大学数学Vo1．26，№．42010年8月CoLLEGEMATHEMATICSAug．2010一类具有垂直传染和预防接种的SEIR传染病模型王翠姣，宋燕，王旭辉(1．红旗中学松山校区，内蒙古赤峰024005；2。渤海大学数学系，辽宁锦州121000)[摘要]建立并分析了一类具有垂直传染和预防接种的SEIR传染病模型，得到了该模型的基本再生数．通过对基本再生数的讨论和分析，得到了该模型的平衡点的稳定性和持续性．[关键词]传染病；平衡点；稳定性；持续性[中图分类号]O175[文献标识码]B[文章编号]16721454(2010)04—0126—04关于具有潜伏期的传染病模型，对各类SEIS模型已有成熟的研究口．本文就疾病具有垂直传染和对新生儿进行预防接种的SEIR模型进行定性分析．该模型一般适用于乙型病毒性肝炎、结核等传染疾病的传播．1模型的建立本文研究的传染病动力学模型为_dS_一(1一Ⅲ)6(5+E+R)+(1一P)bl-flSI-bS，dE—BSI—bE—mE，(1)dl_d_——t一E+P6J～6J—yJ，dRd￡)，+bm(S+E+R)～，其中S，E，j，R分别表不易感者、潜伏者、染病者和移出者的数茸．种群的出生率和自然死亡率均为b，卢为疾病的传播系数，为由潜伏者到染病者的转化率，y为染病者的恢复率，且染病者恢复后将不会再被感染，P是疾病的垂直传染概率，是对易感者、潜伏者和移出者的新生儿进行预防接种的比例．m，b，P，，，y均为正常数．并假设)，一mb>O．将系统(1)的四个方程相加得d(S+E++R)dN—一dtdt==ll所以，人口总数N为常数，不妨设s+E++R一1，则得到系统(1)的等价系统f一(1-(1-I1-P一／3SI-bS，{dE=卢sI～6E一E，(2)l警一+叫．[收稿日期]2007—10—29；[修改日期]2008—02—29[基金项目]辽宁省教育厅高校科研项目(20040029) 第4期王翠姣，等：一类具有垂直传染和预防接种的SEIR传染病模型127将系统(2)的三个方程相加得dl一(1一)6～b(S-}-E+I)一(y-mb)I．0可证得集合一{(S，E，J)∈J00，J汁1∞(6嚣十J)lreb)+b-∞+()，+(1一P)bJJ>。，f2b+w+7+flI+(1-P)b[(1-re)b-(1-I")b+pS]0IH3一I1(b-kill)[6++y+(1-P)b]0I102b+w+7+(1-P)b+flIpIE(1-re)b-(1-P)b+flS]f>O．由Hurwitz判据㈨知，该线性矩阵的所有特征根都具有负实部．所以，当R。>1时，地方病平衡点B局部渐近稳定．综上所述，当R。≤1时，无病平衡点A(1一m，0，0)在内全局渐近稳定；当R。>1时，平衡点A在n内不稳定，地方病平衡点B(S，E，I)在n内局部渐近稳定．3地方病平衡点的持续性定义1[映射丌(t；32)：R×X—X称为集合X上的一个流，如果对任意的t，t：ER，zEX，(i)u(O；z)：z；(ii)zc(t1+f2；)=zr(tl；丌(f2；z))．若上述仅在R+上定义，则称7C为一个半流．如果在高维欧氏空间R上，且，r(；z)连续，称，r为一个半动力系统．Fonda根据斥子给出了一个关于持续的结果，结论如下：引理1Ⅲ设三是的一个紧子集，使得x／2是一个不变集．是一致斥子的充要条件是存在的一个邻域u和一个连续函数Q：x一尺+满足：i)当且仅当“∈时，(“)=0；ii)对所有的∈U，都有一个T>O，使得P(n(u，T))>P(“)．文[1]指出，对于一个局部紧度量空间的一个闭子集F上定义的半流，如果F的边界是排斥的，那么该半流就是一致持续的．基于上述理论依据，便可证得R。>1时地方病平衡点B的持续性．定理2若R。>l，则集合={(S，E，)∈R+}=0}是系统(2)的一个一致斥子，并且系统(2)的地方病平衡点B在内一致持续．证设系统(2)的解为7r．对任意‰一(5。，，10)∈n，存在定义在R上且满足zr(u。，O)一(s。，Zo，／o)的唯一解7r(，)一(5，E，J)(‰)．由于是系统(2)的一个正向不变集，所以对于t∈R+有zr(u。，)∈．易知7r(“。，f)是内的半动力系统．在I=0上，有=mE>O．则当，(0)>0时，总有()>o(一。。)．所以n／是正向不变的．且可证得是的一个紧子集．定义P：一R+为P(S，E，J)一；并记U一{(S，E，D∈JP(S，E，J)1(因为R0>1，ID是足够小的正数)．_t-D‘假设存在∈【，(五一(S，，了))，使对每一个t>O，都有P(丌(五，f))O，都有P(“)一l(t；)O，当f≥T时，s(￡，)>．U、pp定义辅助函数()一，(f)4-E()，其中P为足够小的常数，且O1测()一E+PbI一6一yI+(flSI．bE～E)≥(1-P)b[一‘．取—min[(1-e)b+r3[墨一]，竺}，则V(￡)≥()>O．当￡一。。时，V(t)-~oo．这与(f)在12上有界矛盾，故假设不成立．所以，对每一个U∈u／z，都存在一个T，使POr(u，T))>P()．根据引理2知，是系统(2)的一个一致斥子．因系统(2)在n内存在唯一局部稳定的正平衡点B(S，E，I)，所以B为半动力系统(2)的半流．所以地方病平衡点B存．内一致持续．4结论本文对一类SEIR传染病模型的动力学进行了分析和研究．此模型中包含了疾病发生率为双线性、疾病垂直传染和对新生儿进行预防接种等因素．对于其等价系统(2)，找到了基本再生数p一!二“。(6+∞)[’，+(1～P)6]’它决定了系统在正向不变集Q内的动力学行为．若R。>1，则该模型存在两个平衡点，无病平衡点A在内不稳定，地方病平衡点B在国内局部渐近稳定，并且若初始时疾病就存在，那么疾病将在种群中持续存在，即形成地方病；若R。≤1，则该模型仅存在一个平衡点，即无病平衡点A，它在力内全局渐近稳定，所以，此时疾病将最终灭绝．[参考文献][1]王拉娣，李建全．一类带有非线性传染率的SEIS传染病模型的定性分析[J]．应用数学和力学，2006，27(5)：591—596．[2]李建全，马知恩．两类带有确定潜伏期的SEIS传染病模型的定性分析[J]．系统科学与数学，2006，26(2)：228—236．[3]马知恩．微分方程稳定性方法EM]．北京：科学出版社，2001：70．E43张伟年．动力系统基础EM]．北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2001：6．Es]FondaA．Uniformlypersistentsemidynamiealsystems[J]．ProceedingsofAmericanMathematicalsociety，1988，104(1)：111～116．AnSEIREpidemicModelwithVerticalTransmissionandVaccinationWANGCui-jiao，SONGYah，WANGXu—hui(1．SongshanCampus，RedFlagMiddleSchool，Chifeng，InnerMongolia024005，China；2．DepartmentofMathematics，BohaiUniversity，Jinzhou，Liaoning121000，China)Abstract：WeformulateandanalyzeandSEIRepidemicmodelwithverticaltransmissionandvaccination．Thebasicreproductionnumberofthismodelwasfound．Throughthestudyandanalyzetothebasicreproduction，weobtainthestabilityandpersistenceoftheequilibrium．Keywords：epidemicmodels；equilibrium；stability；persistence