一类具有非线性饱和传染力传染病模型

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1、万方数据第18卷第4期工程数学学报v。l18N。42001年¨月JoURNALoFENGINEERINGMATHEMATJCSN。V2001文章编号：1005—3085(2001)04．0098—05一类具有非线性饱和传染力的传染病模型摘要关键词分类号原三领1，(1．西安交通大学理学院，西安710049蒋里强22-郑州防空兵学院，郑州450052)讨论了一类具有非线性饱和传染力的sIs流行病模型，确定了各类平衡点存在的阈值条件．利用线性化和李亚普诺夫一拉塞尔的方法，得到了各类平衡点全局稳定性的条件。流行病模型；阈值；平衡点；全局稳定性AMs(z0

2、00)34D23；92D30中田分类号：0175．1文献标识码：A1引言早在1927年，Kennack和Mckendrick在其建模三假设下首先利用动力学的方法建立了传染病的sIR传染病模型(即所谓的KM模型)，从此揭开了传染病数学建模研究的篇章。在KM三假设中假设传染力与易感者人数成正比，即每一个染病者的平均传染力是易感者人数的线性函数，这在一定程度上是符合常情的，因为若易感者人数多，则一个病人与易感者接触的机会就多，因而传染力就大，所以在一定条件下这个正比规律是对的。但在易感者人数很大时就显得不合理，因为易感者人数再多，一个病人与他人的接触能

3、力总是有限的，因此传染力总有一个饱和状态。1979年May和AnderS0n[1]提出用饱和接触率作为例子来说明可以产生稳定的极限环；文[2]中考虑了具饱和接触率的SlRs模型。其它具有非线性发生率的流行病模型见文[3～5]等；文[6，7]中对非线性传染率的流行病模型进行了详细的概括和讨论．但对有人口常数输入的含额外死亡，具有饱和传染力的情形考虑的还很少。本文拟对一类具有这种情形的sIs传染病模型进行研究和讨论。本文第2节给出所研究的模型，第3节给出各类平衡点及其存在的阈值条件；第4，5节分别讨论无病平衡点及地方病平衡点的全局稳定性。2模型疾病的

4、传染机制如下收稿日期：200l一01．15作者简介：原三领(1966年12月生)，男，博士基金项目：国家自然科学基金资助项目(19971066)万方数据!茎兰望，，，!!!!，，』!三耋：兰呈耋：=耋呈立韭釜堡竺耋生鎏尘篁生鎏誊篓型：：—生s型，三s+dS(d+e)，这里，s，f分别表示易感者类和染病者类，其中所有的参数均为正常数。且·A表示外界对环境的常数输入；·口表示一个染病者所具有最大传染力；-r表示疾病的恢复率；·d，e表示自然死亡率和额外死亡率。·口u(s)表示一个染病者所具有的饱和传染力，且u(s)满足u(o)=o，岩>o，妞u(s)

5、=1(1)考虑下面的模型S7(￡)=A一卢u(S)，(f)一dS(f)+rj(￡)，’(￡)=，(￡)[口u(s)一(d+e+r)](2)若设总人口为N(t)，N(t)=s(￡)+j(t)，则N’(z)=A—dN(￡)一8f(￡)(3)显然第一象限为系统(2)的正向不变集。因为当N(￡)>A／d时，N’(￡)

6、界的，所以解的存在区间为(O，+。。)[8]。这样，系统(2)初值问题的解从数学和流行病学两方面来讲都是有意义的，因为所有的变量都是非负的。3平衡点系统(2)总有无病平衡点岛(A删，o)。因为在7、中：o≤s(￡)≤鲁，由系统(2)的第二个方程知，当o<半ds。时，系统有唯一的正平衡点E。(s。，J．)，其中s’=∥(气产)，卜箫=等等㈣令。：≠；塾，则。即为我们所定义的再生数。4无病平衡点Eo的全局稳定性定理1如果口u(A／d)≤d+P+r即口≤1，则Eo是全局渐近稳定的。证明首先考虑无病平衡点E0的局部稳定性，令万方数据—

7、_三2竺—一三一程数学报第18卷z1(￡)=s(￡)一竽工2(z)=，(f)则相应的线性方程为fzl(￡)=一dzl(f)+(r卢u(A／d))卫2(￡)1。2(￡)：[pu(A／引(d+。+，)]。：(f)‘6’其系数矩阵为’■⋯，j，I∥‘，A付’、](7)LO卢【，(A／d)一(矗+e{r)J。。易知当a

8、u(A／d)(d+P十r)]3万专再j[。～1]当d≤I时V7(￡)≤0且等号成立的充要条件为，=O或(s，，)=Eo，在J=0上的最大