2016-2017学年北京156中八年级（上）期中数学试卷.doc

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2016-2017学年北京156中八年级（上）期中数学试卷　一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个交通标志中，轴对称图形是（　　）A．B．C．D．2．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）A．a（x+y）=ax+ayB．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x3．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）4．（3分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB=AC，AD=AE，∠A=60°，∠B=35°，则∠BDC的度数是（　　）A．80°B．85°C．90°D．95°5．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　） A．1B．2C．3D．46．（3分）等腰三角形的两边为5和6，则三角形的周长是（　　）A．16或17B．16或11C．16D．177．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（　　）A．36°B．54°C．18°D．64°8．（3分）如图，△ABC中，若∠B=∠C，BD=CE，CD=BF，∠A=40°，则∠EDF=（　　）A．80°B．45°C．60°D．70°9．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）A．25°B．30°C．35°D．40°10．（3分）若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开，则剩余部分展开后得到的图形是（　　） A．B．C．D．　二、填空题：（每小题2分，共16分）11．（2分）如果x+y=0，xy=﹣7，则x2y+xy2=　　．12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为　　．13．（2分）如图，将△ABC绕点A旋转到△ADE，∠BAC=75°，∠DAC=25°，则∠CAE=　　．14．（2分）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．若∠A=100°，求∠EBC=　　度．15．（2分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为16，AB=12，则△ABC的周长为　　． 16．（2分）在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=6，AC=10，则AD的取值范围是　　．17．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是　　（填出一个即可）．18．（2分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是　　．　三、解答题：（每小题12分，共28分）19．（12分）因式分解：（1）3a3b﹣12ab3（2）x2﹣5x﹣6（3）4x2﹣4x+1．20．（4分）已知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF且AE=BF． 求证：EC=FD．21．（4分）如图，BE=AD，AB=BC，BP为一条射线，AD⊥BP，CE⊥PB，若BD=6．求EC的长．22．（4分）已知：如图，AB=AD，AC=AE，且BA⊥AC，DA⊥AE．求证：（1）∠B=∠D．（2）AM=AN．23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，AE=BF．求证：（1）DE=DF；（2）△DEF为等腰直角三角形．　四、作图题：（本题8分） 24．（8分）如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）28．图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点．按下列要求画图：（1）在图①中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个；（2）在图②中以格点为顶点画一个等腰直角三角形，使其内部已标注的格点只有3个；（与图①不同）（3）在图③中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个．　五、解答题：（每题6分，共18分）25．（6分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使△ABD与△ABC全等．（1）标出点D的位置；（2）直接写出点D的坐标． 26．（6分）阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．求证：CD=AB．小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB=AE，∠E=∠D．在△ADC与△CEA中，∵∴△ADC≌△CEA，得CD=AE=AB．请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．27．（6分）在△ABC中， （1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60请补全图形，并直接写出△ABP与△BPC面积的比值；（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE，CD与BE相交于点O，求证：BE=CD；（3）在（2）的条件下判断∠AOD与∠AOE的数量关系．（不需证明）　 2016-2017学年北京156中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析　一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）下列四个交通标志中，轴对称图形是（　　）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．　2．（3分）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（　　）A．a（x+y）=ax+ayB．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【解答】解：A、是多项式乘法，故A选项错误；B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；C、提公因式法，故C选项正确；D、右边不是积的形式，故D选项错误；故选：C． 【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．　3．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．【解答】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．　4．（3分）已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB=AC，AD=AE，∠A=60°，∠ B=35°，则∠BDC的度数是（　　）A．80°B．85°C．90°D．95°【分析】根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C=∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC=∠A+∠C，代入求出即可．【解答】解：∵在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠C=∠B，∵∠B=35°，∴∠C=35°，∵∠A=60°，∴∠BDC=∠A+∠C=95°，故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠BDC=∠A+∠C．　5．（3分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】由垂线段最短可知当PQ⊥OM时PQ最小，当PQ⊥OM时，则由角平分线的性质可知PA=PQ，可求得PQ=2． 【解答】解：∵垂线段最短，∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PQ=PA=2，故选：B．【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．　6．（3分）等腰三角形的两边为5和6，则三角形的周长是（　　）A．16或17B．16或11C．16D．17【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为5；（2）当等腰三角形的腰为6；两种情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：①当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16．②当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17．故这个等腰三角形的周长是16或17．故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．　7．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（　　）A．36°B．54°C．18°D．64°【分析】根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数． 【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=72°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∴∠A=36°，∵BD⊥AC，∴∠ABD=90°﹣36°=54°．故选：B．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．　8．（3分）如图，△ABC中，若∠B=∠C，BD=CE，CD=BF，∠A=40°，则∠EDF=（　　）A．80°B．45°C．60°D．70°【分析】根据题意得出∠B=∠C=70°，再证明△BDF≌△CED，从而得出∠BFD=∠CDE，则∠EDF=∠B．【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=∠C=70°．在△BDF与△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠CDE，∵∠BDF+∠BFD=110°，∴∠BDF+∠CDE=110°，∴∠EDF=∠B=70°．故选：D．【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理；证明三角形全等是解决问题的关键．　9．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．　10．（3分）若把一个正方形纸片按下图所示方法三次对折后再沿虚线剪开，则剩余部分展开后得到的图形是（　　）A．B．C．D．【分析】拿正方形纸片先沿对角线向上翻折，再向右翻折，右下翻折，剪去上面一个等腰直角三角形，展开即可得到正确答案．【解答】解：动手操作后可得第二个图案．故选：A．【点评】本题主要考查了剪纸问题；主要是让学生学会动手操作能力．　二、填空题：（每小题2分，共16分）11．（2分）如果x+y=0，xy=﹣7，则x2y+xy2=　0　．【分析】先把多项式因式分解，再整体代入【解答】解：x2y+xy2=xy（x+y）因为x+y=0，xy=﹣7， 所以原式=0故答案为：0【点评】本题考查了多项式的因式分解的应用．拿到一个多项式，首先看它有没有公因式，有公因式的应首先提取公因式，再看多项式能否利用公式进行分解．　12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为　63°或27°　．【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．【解答】解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，底角=（180°﹣54°）÷2=63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此时底角=（180°﹣126°）÷2=27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故答案为：63°或27°．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．　 13．（2分）如图，将△ABC绕点A旋转到△ADE，∠BAC=75°，∠DAC=25°，则∠CAE=　50°　．【分析】根据旋转前后的图形全等，可得∠DAE=∠BAC，∠CAE=∠DAE﹣∠DAC，据此求解．【解答】解：根据题意，∠DAE=∠BAC=75°．∠CAE=∠DAE﹣∠DAC=75°﹣25°=50°．【点评】此题考查了旋转的性质，关键是把握对应相等的关系．　14．（2分）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．若∠A=100°，求∠EBC=　40　度．【分析】根据题意，可以得到∠ABE和∠CBE的关系，再根据平行线的性质，即可得到∠EBC的度数，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，AG=AH，OG=OH，BO=BO，∴△BGO≌△BHO（SSS），∴∠GBO=∠HBO，∵AD∥BC，∠A=100°，∴∠A+∠ABC=180°， ∴∠ABC=80°，∴∠EBC=∠EBA=40°，故答案为：40．【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．　15．（2分）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为16，AB=12，则△ABC的周长为　28　．【分析】根据基本作图可判断MN为AB的垂直平分线，则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，则利用AC+CD+AD=16得到AC+CD+BD=16，即AC+BC=16，然后计算△ABC的周长．【解答】解：由作法可得MN为AB的垂直平分线，则DA=DB，∵△ADC的周长为16，∴AC+CD+AD=16，∴AC+CD+BD=16，即AC+BC=16，∴△ABC的周长=AC+BC+AB=16+12=28．故答案为28．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．也考查了线段垂直平分线的性质．　16．（2分）在△ ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=6，AC=10，则AD的取值范围是　2＜AD＜8　．【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=10，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB﹣BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可．【解答】解：解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=10，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜2AD＜10+6，∴2＜AD＜8，故答案为2＜AD＜8【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生的推理能力．　17．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是　AB=CD（答案不唯一）　（填出一个即可）． 【分析】添加条件是AB=CD，根据AAS推出两三角形全等即可．【解答】解：AB=CD，理由是：∵在△AOB和△DOC中∴△AOB≌△DOC（AAS），故答案为：AB=CD（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，题目是一道开放型的题目，答案不唯一．　18．（2分）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的底角度数是　（）n﹣1×75°　．【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．【解答】解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，∴∠BA1C==75°，∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°； 同理可得∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．　三、解答题：（每小题12分，共28分）19．（12分）因式分解：（1）3a3b﹣12ab3（2）x2﹣5x﹣6（3）4x2﹣4x+1．【分析】（1）首先提取公因式3ab，进而利用平方差公式分解因式即可；（2）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（3）直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：（1）3a3b﹣12ab3=3ab（a2﹣4b2）=3ab（a+2b）（a﹣2b）；（2）x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）；（3）4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．　20．（4分）已知：如图，A、B、C、D四点在同一直线上，AB=CD，AE∥BF且AE=BF． 求证：EC=FD．【分析】根据平行线的性质得到∠A=∠FBD，由AB=CD可得到AC=BD，然后根据三角形全等的判定方法可证出△AEC≌△BFD，再根据全等的性质即可得到结论．【解答】解：∵AE∥BF，∴∠A=∠FBD，又∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC．即AC=BD，在△AEC和△BFD中，∴△AEC≌△BFD（SAS），∴EC=FD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组边对应相等，且它们所夹的角对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．　21．（4分）如图，BE=AD，AB=BC，BP为一条射线，AD⊥BP，CE⊥PB，若BD=6．求EC的长．【分析】求出△ADB≌△ BEC，根据全等三角形的性质得出EC=BD，即可得出答案．【解答】解：∵AD⊥BP，CE⊥PB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在Rt△ADB和Rt△BEC中∴Rt△ADB≌Rt△BEC（HL），∴EC=BD，∵BD=6，∴EC=6．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能根据全等三角形的判定定理推出△ADB≌△BEC是解此题的关键．　22．（4分）已知：如图，AB=AD，AC=AE，且BA⊥AC，DA⊥AE．求证：（1）∠B=∠D．（2）AM=AN．【分析】（1）根据SAS证明△ABC与△ADE全等，利用全等三角形的性质证明即可；（2）利用ASA证明△ABM与△ADN全等，再利用全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：（1）∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，在△ABC与△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠B=∠D；（2）∵△ABC≌△ADE，∴AB=AD，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAM=∠DAN，在△ABM与△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（ASA），∴AM=AN．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ABC与△ADE全等．　23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，AE=BF．求证：（1）DE=DF；（2）△DEF为等腰直角三角形．【分析】（1）连接AD，证明△BFD≌△AED即可得出DE=DF；（2）根据三线合一性质可知AD⊥BC，由△BFD≌△AED可知∠BDF=∠ADE，根据等量代换可知∠EDF=90°，可证△DEF为等腰直角三角形．【解答】证明：（1）连接AD，∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵AB=AC，DB=CD， ∴∠DAE=∠BAD=45°．∴∠BAD=∠B=45°．∴AD=BD，∠ADB=90°．在△DAE和△DBF中，，∴△DAE≌△DBF（SAS）．∴DE=DF；（2）∵△DAE≌△DBF∴∠ADE=∠BDF，DE=DF，∵∠BDF+∠ADF=∠ADB=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°．∴△DEF为等腰直角三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定．考查了学生综合运用数学知识的能力，连接AD，构造全等三角形是解决问题的关键．　四、作图题：（本题8分）24．（8分）如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P应建在什么位置？（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 【分析】由条件可知发射塔要再两条高速公路的夹角的角平分线和线段AB的中垂线的交点上，分别作出夹角的角平分线和线段AB的中垂线，找到其交点就是发射塔修建位置．【解答】解：分别作出公路夹角的角平分线和线段AB的中垂线，他们的交点为P，则P点就是修建发射塔的位置．【点评】此题考查了应用设计与作图，正确利用角平分线和线段垂直平分线的做法是解题关键．　28．图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个网格中标注了5个格点．按下列要求画图：（1）在图①中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个；（2）在图②中以格点为顶点画一个等腰直角三角形，使其内部已标注的格点只有3个；（与图①不同） （3）在图③中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有4个．【分析】（1）根据等腰三角形的性质画出图形即可；（2）根据等腰直角三角形的性质画出图形即可；（3）根据等腰三角形的性质画出图形即可．【解答】解：（1）如图①所示；（2）如图②所示；（3）如图③所示．【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知等腰三角形的性质是解答此题的关键．　五、解答题：（每题6分，共18分）25．（6分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使△ABD与△ABC全等．（1）标出点D的位置；（2）直接写出点D的坐标． 【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；点D的坐标是（4，﹣1），（﹣1，3），（﹣1，﹣1）【点评】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题，分情况进行讨论是解决本题的关键．　26．（6分）阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．求证：CD=AB．小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形．即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB=AE，∠E=∠D．在△ADC与△CEA中，∵∴△ADC≌△CEA，得CD=AE=AB． 请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由．【分析】作AE=AB交BC延长线于E点，则∠B=∠E，而∠B=∠D，得到∠D=∠E，由∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°可得到∠DAC=∠ECA，然后根据“AAS”可判断△DAC≌△ECA，根据全等的性质得CD=AE，于是有CD=AB．【解答】答：CD与AB相等．证明如下：作AE=AB交BC延长线于E点，∴∠B=∠E∵∠B=∠D∴∠D=∠E，∵∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°，∴∠DAC=∠ECA，∵在△DAC和△ECA中，，∴△DAC≌△ECA（AAS），∴CD=AE∴CD=AB． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．　27．（6分）在△ABC中，（1）如图1，BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，AB=50，BC=60请补全图形，并直接写出△ABP与△BPC面积的比值；（2）如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE，CD与BE相交于点O，求证：BE=CD；（3）在（2）的条件下判断∠AOD与∠AOE的数量关系．（不需证明）【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，再根据三角形的面积公式列式求解即可；（2）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，再求出∠DAC=∠BAE，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（3）过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，根据△DAC≌△BAE，可知它们的面积相等，即可推出AM=AN，逆用角平分线的性质定理，可得AO平分∠DOE． 【解答】解：（1）如图1，作PN⊥BC于N，又∵BP为△ABC的角平分线，PM⊥AB于M，∴PM=PN，∴S△ABP：S△BPC=（AB•PM）：（BC•PN）=AB：BC，∵AB=50，BC=60，∴△ABP与△BPC面积的比值为；（2）证明：如图2，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE=CD；（3）∠AOD与∠AOE的数量关系为：∠AOD=∠AOE．理由：如图，过点A作AM⊥DC于M，作AN⊥BE于N，由（2）可得，△DAC≌△BAE，且DC=BE，∴S△DAC=S△BAE，即×CD×AM=×BE×AN，∴AM=AN，∴点A在∠DOE的角平分线上，∴∠AOD=∠AOE． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的性质的综合应用．解题时注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等，运用其逆定理是解决问题的关键．