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1、轨迹问题的探究性学习在中学数学中,关于轨迹的讨论，主要有两类:"几何轨迹"----是指由一个几何结构中的动点而产生的轨迹图形。"方程的轨迹"----是指由代数方程f(x,y>=0的解集G={p=(x,y>
2、f(x,y>=0,xÎD}所构成的图像。b5E2RGbCAP构成几何轨迹的要素有3:几何结构,主动点,轨迹点，而轨迹点是受几何结构约束的。构成方程轨迹的要素有2:定义域D和方程f(x,y>=0。几何轨迹的的学习是初三的课程，方程轨迹的学习是高二的课程，当中包括了用方程来描述几何轨迹的问题--求几何轨迹的方程。p1EanqFDPw研究几何轨迹的方法是:1.根据给定的条件,设计并作出相关的
3、几何结构；2.作出轨迹图形。由于初中课程的限制，结果并不要求推导轨迹方程，重要的是设计并作出相关的几何结构。研究方程轨迹的方法是:1.根据给定的条件,由公式或其他方法，建立能表达该条件的数学方程f(x,y>=0和定义域D；DXDiTa9E3d2.解方程、描点，得到轨迹的图像。高中课程的重点是建立方程。建立方程要靠数学思维、数学方法和演译推理，最好还是用人脑纸笔作业。解方程和作图主要是一些大量的重覆而繁琐的工作,宜借助电脑完成。RTCrpUDGiT如果研究的是几何轨迹的方程，则首先要作出相关的几何结构，作出几何轨迹，这有助于建立方程的思考，并对所得方程进行检验--方程轨迹与几何轨迹是否重合
4、。5PCzVD7HxA无论是作几何结构或函数图像都要借助工具，下面问题将在DM_Lab环境中进行探究。一.几何轨迹的探究几何轨迹的探究着重在几何结构的设计。下面以"平面内到两定点距离之“和、差、积、商”为定值的点的轨迹"为例。1.平面内到两定点距离之和为定值的点的轨迹操作参考图例说明方法11.用作两点F1和F2；2.用以F1为心作圆F1,半径R>
5、F1F2
6、。3.用在圆周上取一点A。4.用作线段AF1,AF2。5.用作AF2中垂线BC交AF1于C。6.选蓝色，用跟踪点C。7.用点一下A点，建立自动动画。8.暂存1.这样的几何结构需要证明其满足给定的条件。易证:CF1+CF2=CF1+CA
7、=R=定值。2.可用缩放圆的半径，改变定值。7/7方法21.用作两点F1和F2。2.用作线段AB,使得:
8、AB
9、>
10、F1F2
11、3.用在AB上取一点C。4.用作线段AC和CB。5.用作以F1为心,AC为半径的圆F1。6.用作以F2为心,CB为半径的圆F2。7.用作两圆交点P1和P2。8.蓝色，用跟踪点P1,P2。9.用点一下C点，建立自动动画。10.暂存1.这样的几何结构显然有P1F1+P1F2=AC+CB=AB=定值。2.移动A或B可改变该定值。2.平面内到两定点距离之差为定值的点的轨迹操作参考图例说明方法11.取出"和"1.的图。2.用缩小圆F1,至半径R<
12、F1F2
13、。3.用点一下A
14、点，建立自动动画。4.暂存1,
15、CF2-CF1
16、=R=定值。2.可用缩放圆的半径，改变定值。方法21.取出"和"2.的图。2.移动B点,缩小AB的长度,使
17、AB
18、<
19、F1F2
20、3.用改AB为直线。4.用点一下C点，建立自动动画。5.暂存1.
21、CA-CB
22、=AB=定值。2.移动A或B可改变该定值。3.如果图像在顶点附近有断裂,可取消自动动画,改为手动慢动作拖动C点的移动。[注]符合条件的几何结构不是唯一的，这里只是其中的两例，更多的方法可以让学生去探究和讨论，这有助于提高学生几何知识的运用和数学的思维能力，有助于学生数学素养的培育。jLBHrnAILg3.平面内到两定点距离之积为定值的点的
23、轨迹操作参考图例说明7/7方法11.用作两点F1和F2。2.用作线段AB,使得:
24、AB
25、>
26、F1F2
27、3.用在AB上取一点C。4.用连结AC。5.测量AC长度，得变量a；6.在参数监察栏输入:d=37.在参数监察栏输入:b=d/a8.用作线段DE=b。9.用作以F1为心,DE为半径的圆F1,R1=DE。10.用作以F2为心,AC为半径的圆F2,R2=AC。11.用作两圆交点P1和P2。12.红色，用跟踪点P1,P2。13.用点一下C点，建立自动动画。1.R1·R2=DE·AC=a·b=d=定值。2.修改d的值,例如改d=5，可改变该定值。4.平面内到两定点距离之商(比>为定值的点的轨迹操
28、作参考图例说明方法11.用作两点F1和F2。2.用作线段AB；3.用在AB上取一点C。4.用连结AC。5.用作以F1为心,AC为半径的圆F1,R1=AC。6.用作以F2为心,AB为半径的圆F2,R2=AB。7.用作两圆交点P1和P2。8.红色，用跟踪点P1,P2。9.用鼠标慢慢拖动B点移动。1.C是线段AB的内分点，当A或B移动时，C的分比不变。即AC:AB=定值。R1:R2=AC:AB=定值。2.移动C的位置,可改变该定值。[注]
