传球问题探究性学习

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1、传球问题的探究性学习一问题背景山东临沂市2006年1月份高三模拟考试卷中有一道关于传球问题的试题：三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方法的种数是（）(A)6（B）8（C）10（D）16本题主要考查排列组合中的计数问题，当时我校学生的得分情况并不理想：笔者所任教班级为实验班（学生的成绩普遍较好），但是选择正确答案（C）的仅为30%，其余选项基本平均！进一步调查发现，大多数同学没有明确的解题思路：有的根本就不理解题意；有的只会使用列举法进行直观列举，但不能按一定顺序将所有情况一一穷尽，有遗漏现象；选（C）的同学中也有是蒙对

2、的，其实并不真正理解题意；绝大多数同学没有转化问题的意识，不能通过联想已经解决的熟悉问题来建立数学模型求解，表现出抽象思维的贫乏与薄弱。事实上，对这种似乎是非常规性的问题，往往难以用常规题型的通常解法去顺利解答；我们有些老师做起来也不容易尽快找到切入点，评讲时就难以点拨到位.我感觉这是一道极具思维训练价值的好题，值得深入研究，于是组织学生进行研究性学习。二分组讨论多向求解师（简要介绍做题情况与试题特点后）这真是一道难题吗？同学们能用所学过的相关知识与方法来求解吗？（留给学生充分独立思考、探索和自由交流讨论的时空）甲乙…丙甲甲甲丙乙乙丙丙乙乙丙图1丙将学生讨论的结果归类如下：

3、1．将传球路线一一列举，进行直观求解：生1考虑传球次数不多，可用枚举法画出详细树状图（图1），甲先传球给乙（上面的一条道路）到最后回到甲手中，共有五种传球方法；同理甲先传球给丙，由对称性可知也有五种传球方法；故共有10种传球方法.甲非12甲甲甲非非非非22111111图2生2由于球开始和结束都在甲手中，因此球第一次传出后及最后一次传出前必须不在甲手中，不妨把乙、丙统称为“非”（意为非甲），故只要确定中间几次传球的情况即可.传球线路如图2，图中“”表示传球方向，“”之上所附数字表示对应于此步的传球方法数.所以，本题传球的不同方法数是++=10.2．与已有知识结构联系，广泛联想

4、与想象，进行发散思维，建模求解：生3联想到2003年新课程卷文科高考试题第16题：34图31256将3种作物种植在并排的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有种.可以将本题进行等价转化为涂色模型：相当于给图3六个方格涂红、黄、蓝三种颜色，要求第1、6两格涂红色，每个方格涂一种颜色，并且相邻的两个方格涂不同的颜色的方法种数.分类讨论如下：针对红色还可涂在3或4当中，分三种情况：（1）若3涂红色，则4、5只能涂黄、蓝两色，有种方法，而2只能选择黄、蓝两色之一，有种方法，由乘法原理知有=4种方法；（2）若4涂红色，同理有4种方法；（3）3

5、、4都不涂红色，则只能在2、4选涂一种颜色，在3、5涂另一种颜色，有7种方法；综上，共有2+=24+2=10种方法.生4改变问题的叙述形式，就成为很熟悉的排数模型：用1、2、3三个数字排成6位整数，要求首位和末位排1，且任意相邻的两个数码不相同，可以得到多少个不同的6位整数？（解略）三进一步探究师上述4位同学的4种解法都具有一定的代表性，如何将问题及其解答向一般情况推广，来进一步揭示问题的规律，认识问题的本质呢？生5将此问题向一般情况引申，有推广1甲乙丙三个人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过次传球后，球又回到甲手中，则不同的传球方法有多少种？问题一经引向一般，

6、上述4种具体解法就难以完全套用！但是可以受其方法的启发----引导学生发现问题背后的规律：生6设经过次传球后，球在甲手中的不同方法有种，球不在甲手中的不同方法有种，则有：①，经过次传球后共有种不同的传球方法；②经过次传球后球要么在甲手中，要么不在，可得=+；③第次传球后，球在甲手中，则下一次必不在甲手中（甲传出去有两种可能）；第次传球后，球不在甲手中，则下一次可以传到甲手中（乙可以传给甲或丙，丙可以传给甲或乙，各有两种可能）；④经过次传球后，球在甲手中有种方法，等于第次传球后球不在甲手中的方法数，即=，且.所以（i）。这是此数列的递推关系式，结合可得，于是数列{}是首项为，

7、公比为的等比数列，即=，解得.评注：①对（i）式学生出现多种转化方式，如（a）变形为即则是以为公比以为首项的等比数列。（b）由（i）式可得（ii），两式相减得再分奇偶项求解后合成即可。原题的解即为.当然，也可推知球不在甲手中有种方法；根据等可能性，传到乙、丙手中各有11种情况.②近阅文[1]，正好是上述推广1，所给解法是上述（a），容易看出：其法没有生6的解法简捷！生7若从概率的等可能性和互斥角度来理解，下面的解法别有趣味：由于球由某人手中向下一个目标传递有2种方法，经过次传球后共有种不同的传球方法，这些方法是等可