数列极限数学归纳法.doc

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1、第二章数列、极限、数学归纳法（2）等比数列【例题精选】:例1：“b2=ac”是a,b,c成等比数列的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件分析：由a,b,c成等比数列Þ；若a,b,c中有等于零者，a,b,c不成等比数列，故选（B）说明：只有当a,b,c均不为零时，Ûa,b,c成等比数列。例2：已知数列的前n次和，那么下述结论正确的是A．为任意实数时，是等比数列B．=－1时，是等比数列C．=0时，是等比数列D．不可能是等比数列分析：给出，可由求出通项来进行判断：当当是等比数列，故选（B）。小结：解好本题要准确掌握数列的前n项和Sn与通项an关

2、系式例3：在等比数列中，已知解：设等比数列的公比为，依题意：例4：（1）在等比数列6，…，1458，…，13122，…中，1458是第n项，13122是第2n－4项，求公比q。8/8（2）已知等比数列前10项的和是10，前20项的和是30，求前30项的和。解：（1）依题意由（2）等比数列记为例5：试求一个正数，使它的小数部分，整数部分及这个正数自身依次成等比数列。解：设整数部分为n，小数部分为t，则所求正数为n+t．例6：若有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和是36，求这四个数。分析：前三个数成等差数列，可没有

3、a－d，a，a+d，那么第四个数用等比中项得；若光考虑后三个数成等比数列，可设后三个数依次为，a，aq8/8，那么第一个数为－a，下面用第一种设法给出解答过程，第二种解题过程读者自己完成。解：设前三个数为a－d，a，a＋d，则第四个数为，依题意得由（2）得d=36－2a代入（1）得4a2－145a＋362=0解得a=16或a=d=4或d=-所求四个数为12，16，20，25或例7：已知f(x)是一次函数，f(10)=21，且f(2)，f(7)，f(22)成等比数列，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n)以后的式子的表达式解：设f(x)=kx＋b(k0)由已知将（2）化简整理

4、得所以由（1）（3）解得∴f(x)=2x+1小结：数列是一类以自然数集或它的有限子集为自变量的函数，运用函数的观点认识数列十分有益。例8：设一个等比数列的前项和Sn，前n项积为Pn，前n项倒数和为Tn,求证：证明：设等比数列的首项为a1，公比为q当时，8/8所以故当时，所以小结：为了写出的表达式，由等比数列求和公式，必须对q是否为1作出分类讨论。例9：在等比数列的值。分析：若通过通项公式求，必须先确定首项和公式，这就需要二个条件。解：设等比数列的公比为，则解上方程组必须降次、消元。若孤立看（1）得，若联系（2），则有，故，从而可得(3)（2）÷（3）得8/8即至此先求，再求可以，

5、但从（3）可有则可免去求的步骤。于是当，当时，例10：若是各项都为正数的等比数列，并且，求的值。分析：依据方程的思想，这里为确定通项公式应选确定首项和公比q，但只给出一个条件，使，q都被确立不可能，由于由已知可得：即，故有（1）而又由，于是由（1）得，从而得到。小结：设而不求，整体代入，即设元，列式后不去直接求所设各未知数的值，而在已知式和求值式之间寻找联系，从中求得所需。例11：在一段时期内，若某工厂产值的月平均增长率为p，那么该厂产值的年平均增长率是多少？若该厂产值的年平均增长率为q，那么其月平均增长率是多少？分析：由某厂产值月平均增长率为p，那么该厂连续二年中的24个月的产

6、值为，2，3，……12，13，……24。于是在这段时期内，后一年总产值，前一年总产值，于是其年平均增长率。若该厂产值的年平均增长率是q，设这段时期内，月平均增长率为r，由本题上述推理有于是可解得。小结：上述第二问运用了方程的思想和第一问推导的结果。例12：某企业在年度之初借款A元，从该年度末开始，每年度末偿还一定的金额，恰在n年间还清，年利率为r，试问每次须支付的金额是多少？解法1：设每次偿还a元，则n年度末本利合计为：8/8另一方面年度之初借款A元，到第n年末，本利和是元。解法2：设每次偿还a元，第K年末偿还a元之后的债务为元，则：【专项训练】：一、选择题：1、等比数列中，已知

7、，则n为A．3B．4C．5D．62、等比数列中，，则等于A．3B．C．D．43、等差数列的首项，公差，如果成等比数列，那么等于A．3B．2C．－2D．4、设等于A．B．C．D．8/85、设由正数组成的等比数列，公比q=2，且，则A．210B．220C．216D．215二、填空题：6、等比数列满足，则。7、已知是等比数列，且，那么。8、在等比数列中，，则，。9、等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于。三、解答题：10、一个等比数列中，，求这个数列的通项公式。11、