关于Hilbert空间正交投影算子的刻画-论文.pdf

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1、2014年5月洛阳师范学院学报May．，2014第33卷第5期JoumMofLuoyangNormMUnive~ityVo1．33No．5关于Hilbert空间正交投影算子的刻画冯超玲(广西职业技术学院基础教学部，广西南宁530226)摘要：本文主要运用广义逆的的基本性质去研究Hilbe~空间算子的正交投影，得到几个性质定理，推广了文献[1—3]中的相关结果．关键词：Moore—Penrose逆；正交投影中图分类号：0151．21文献标识码：A文章编号：1009—4970(2014)05—0015—02A=A．0引言证明由于A是正交投影，则有A=A=A．

2、1935年，Moore给出了投影矩阵的定义．关于由定义1得(AA)=AA，又因为Hilbe~空间算子投影主要有正交投影和斜投影，矩(A)’=(A)=A，贝4有阵广义逆和算子广义逆的基本性质及其应用．文献AA=(AA)=A(A)’=A’A=AA．[1—2]研究了投影矩阵的若干性质，文献[3]研究又因为A=AAA=AAA=A=AA，则了投影算子的等价关系．A=AAA=AAA=(A)A=(A)A=本文用H表示Hilbe~空间，(日)表示日上有AA．界线性算子的全体集合．算子A∈B(H)称为正交投故A=A．影当且仅当A=A=A；算子称为广义投影当且定理2设A为正

3、交投影，则下列条件是等价仅当A=A；算子A称为超广义投影当且仅当A的．=A；算子A称为正规的当且仅当AA=AA；算(1)AA=A’A；(2)A=A；(3)AA’A：A；子A称为偏等距的当且仅当AAA=A．其中A表(4)A’A=AA．示A的共轭转置矩阵．证明由A是正交投影。则A=A=A．从而有AA=AA2=A=AA=A本文主要运用广义逆的基本性质去研究Hilbe~．空间算子的正交投影，得到几个性质定理，推广了(1)(2)A=A=AA=A’A=AA’=AA=文献[1—3]中的相关结果．A．(2)(3)A=A=AAA=AAA．1相关定义(3)(4)显然的．定义

4、1设矩阵A∈C一是一实或复矩阵，若(4)j(1)由定理1得AA=AA=AA=存在唯一矩阵X∈C满足下列方程：．(1)AXA=A；(2)XAX=；推论1设A为正交投影，则是正规的，超(3)(A)=AX；(4)(XA)=XA．广义投影的和偏等距的．则称为A的Moore—Penrose逆或A的广义推论2设A为正交投影，则逆，记作．A(AA’A)=(AAA)A．证明由定理1及定理2，得AA=AA，2主要结果A=A．从而有A(AAA)=(AAA)A．定理1设／l为正交投影，则AA=AA=A，推论3设A为正交投影，则收稿日期：2013—11—20作者简介：冯超玲(1

5、970一)，女，广西岑溪人，讲师．研究方向：数学建模和矩阵分析·16·洛阳师范学院学报2014年第5期(1)A(A+A)=(A+A)A；A得，(A～A)=0．故有(2)A(A’+)=(A+A)A．1A=0，1，，。．其中∞=一÷+i．证明由定理1及定理2，得二AA=AA，AA=AA，A‘A=AA．定理5设为正交投影。则故A(A+A)=AA+AA=AA+AAA=1P0①ccJP①∞P2o0·Q，其中Po，P，，=(A’+A)A，P2，Q为正交投影，Q为A零空间的正交投影．A(A’+A)=AA+AA=A’A+AA定理6设A为正交投影，则=(A’+A)A．(1

6、)AAMAMA：AA；定理3设A为正交投影，则A为A的广义(2)AMAMAA=AA；逆．(3)A4AAA=A’A；证明由定理2得A=A和AA=AA．从而(4)AMAAAM‘=AA．有证明(1)AAAAAA=AAAA=AA．AAA=AAAAA=AAAAA(2)AAAAM=AMAM=AM．=A=A=A=A．(3)AA=AAAMA’A=AMA‘A=定理4设A为正交投影，则AAM’A=(AA)’AA=(AAA)A=AA．(1)=A’；(2)AA‘A=A；(4)AA’AMAM=AAAA‘=AA．(3)AAA=A；(4)AAA=AAA．参考文献证明(1)AAM=AA

7、A=A=A‘．(2)AAA=¨：AAA=A．[1]ABen—Israel，TNEGreville．Generalizedinverses：theo-(3)由定理2得ryandapplications[M]．Springer，2003．’A=AAA’[2]何旭初，孙文瑜．广义逆矩阵引论[M]．南京：江苏科技出版社。1990．=AAA=A．[3]林丽琼，林鸿钊．关于投影算子的等价关系[J]．福建(4)由定理2得A=A’AA=AAA=师范大学学报：自然科学版，2004，加(2)：21—26．似A：．AAA=AAA=AAA=A．故A=AAA’．[责任编辑胡廷锋]

8、设A为A的特征值，t，为A的特征向量，由A=CharacteristicofOr