数学论文-一类连续正交投影算子的表示定理

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1、一类连续正交投影算子的表示定理(孝感学院数学与统计学院，湖北孝感)摘要:本文首先给出单一正交投影算子使用矩阵或线性变换的表示方法，然后在此基础上给出一类连续正交投影算子的表示定理.关键词:投影算子；投影矩阵；正交投影算子；正交投影矩阵；幂等矩阵TherepresentationtheoremofaclassofcontinuousorthogonalprojectionoperatorHanJiping()（XiaoganCollegeSchoolofMathematicsandStatistics，

2、HubeiXiaogan）Abstract:Thepaperfirstgivesasingleoperatorusingtheorthogonalprojectionmatrixorlineartransformationmethod，andthenonthisbasisisgivenforaclassofcontinuousorthogonalprojectionoperatoroftherepresentationtheorem.．Keywords:Projectionoperator;Proje

3、ctionmatrix;Orthogonalprojectionoperator;Orthogonalprojectionmatrix;Idempotentmatrix0引言投影算子及投影矩阵有着广泛的应用，如在实际问题中出现的求最小平方偏差，一些规划问题中的理论也涉及到投影方法.因此对投影算子尤其是正交投影算子的描述和刻画显得由为重要，对它的研究具有理论上的意义.考虑实数域上的一个维线性空间，.有分解式，其中则称叫做沿到的投影.如果用表示由到上的映射，则称为在上的投影变换或投影算子.若是内积空间，且

4、，则称为在上的正交投影变换或正交投影算子.对于的一组标准正交基，这里我们设9，，…，取的一组标准正交基，的一组标准正交基.令，我们设为基到基的过渡矩阵，则有.在基下的矩阵为，于是在标准正交基下的矩阵为另一方面，由于为正交矩阵，故有，于是又有.由此本文首先给出单一正交投影子的表示方法,如用矩阵或线性变换表示.然后探讨和分析了一类特殊的由有限个正交投影算子(连续正交投影算子)的表示方法.1　基本概念定义1[1]矩阵称为正交投影矩阵，如果它是对称幂等阵，即满足，.定义2设是维欧氏空间，为中某一单位向量，定义

5、线性变换，我们称为在子空间上的正交投影算子.定义3是维欧氏空间，其子空间有上的正交投影变换，称为连续正交投影算子或连续正交投影变换.定义4[2]设是一个数域，，若有矩阵使，则称为的一个逆，记为.2定理及证明定理1是维欧氏空间，为的任意一组标准正交基.（1）若为正交投影矩阵，则存在唯一线性变换在上述基下对应的矩阵为，且()()是在上的正交投影变换；9（2）若，是在上的正交投影变换，它在上述基下矩阵为，则为正交投影矩阵.证明（1）对于给定实矩阵，存在唯一线性变换在上述基下对应的矩阵为.，令，是幂等的知，于

6、是，且由，故有，是在上的投影变换.于是有，即，故.故.下证是正交投影变换，即证.记对应线性变换记为，易知为幂等的，由上述证明知为在.由是对称的有，于是有.由已知我们有，设，则有对，，于是.，因此有.，则有知.故有．于是.故是正交投影变换.（2）若，是在上的正交投影变换，则有在中取一组基，.则，构成，于是有9　　存在有==即有.，则有，记对应的矩阵为，则为在上的投影变换，=，，同理=，也是到的正交投影变换，故，即=.是正交投影矩阵.定理2是维欧氏空间，，是在上的正交投影变换.设的一组标准正交基，为的一组

7、标准正交基，并且令，．设在子空间上正交投影变换为，即，，则(1)，;(2)，则．证明(1)由的一组标准正交基，为的一组标准正交基，知为正交矩阵.于是，其中9于是，有故，其中为单位变换.(2)由(1)的证明可知又于是，即.推论1在定理2的条件下，在上的正交投影矩阵，其中为阶单位矩阵.证明取的一组标准正交基，这里，，…，.记在这组基下的矩阵为.而为正交矩阵.故.由基到的过渡矩阵记为，则，于是有.另一方面由，知.推论2在定理2的条件下，.9证明设在的标准正交基下的矩阵为，其中，，…，.由推论1我们有，故有.

8、下面我们给出正交投影算子的另一种表示方法.首先给出两个引理.引理1设为实矩阵，则有　　　　　　　　　　(1)　　　　(2)证若，两边左乘，得，即有，由于，故；若，则，(1)式得证.同理可证(2).引理2对任意的实矩阵，有　　　，　（3）证由于，，得，即有.另一式由可得.定理3设在欧氏空间中，定义内积,对于矩阵，记，由生成的列空间.则在上的正交投影矩阵为．证为在上的正交投影算子，在的标准正交基下的矩阵为，这里，，…，.又设，取的一组标准正交基，的一组标准正