多重调和Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子-论文.pdf

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1、2014年8月纯粹数学与应用数学Aug．2014第30卷第4期PureandAppliedMathematicsVo1．30NO．4多重调和Bergman空间上的Toeplitz算子和Hankel算子孙志玲，孙燕f内蒙古民族大学数学学院，内蒙古通辽028000)摘要：完全刻画多重调和Bergman空间上Toeplitz算子和Hankel算子的紧性．运用紧Toeplitz算子这个结果，建立了Toeplitz代数和小Hankel代数的短正合列，推广了单位圆盘上相应的结果．关键词：多重调和Bergman空间；紧Toeplitz算子；Toeplitz代数；小Hankel代数中图分类号：0177．1

2、文献标识码：A文章编号：1008—5513(2014)04—0393—13DOI：10．3969／j．issn．1008—5513。2014．04．0091引言令Cn为n维复向量空间，和分别代表C中的单位球和单位球面．对C中的点：(1，．一，)和∈=(∈1，．一，)，令(，∈)=∑勺，其中是白的复共轭，并且Izl：．令Ⅳ0n表示分量在非负整数No中的佗一元数组组成的集合．对一个多重指标=(1，．一，Cg)∈Non和=(1，·一，)∈c札，记=O1l··‘．如果：(1，2，⋯，)∈No，令=Ogl+⋯+代表它的长度，并且!=al!⋯an!．对NOn中两个多重指标=(1，2，⋯，)和=(1，2

3、，⋯，)，表不i=1，2，·一，n，，j_表示alfl~+22+⋯+n卢n=0定义一=(1一1，2一2，···，n一)收稿日期：2014—04—03．基金项目：内蒙古民族大学博士科研启动基金(BS311)．作者简介：l,l、志玲(1979一)，博士，讲师，研究方向：函数空间中的算子理论394纯粹数学与应用数学第30卷并且，当＆时，有f一f=ff—ff．。(B，d)是B上Lebesgue平方可积的Hilbert空间，其上的内积定义为(，，g)=／f(z)g(z)dv(z)，t，皿忆其中d是B上通常正规化球测度．多重调和Bergman空间L是L(B，dv)中由所有多重调和函数组成的闭子空问，因

4、此是Hilbert空间；Bergman空间是0(B，d)中由所有全纯函数组成的闭子空间．单位球上的一个多重调和函数．厂可以分f=g+h，其中9和h是全纯函数．而且，如果，是_L。(B，dTfj)中的函数，则夕和h都在中．显然，Bergman空间是多重调和Bergman空间的子空间．令P代表(，du)到上的正交投影．对∈∞(B，dr)，Bergman空问：上的Toeplitz算子：和Hankel算子日：L上分别定义为：，=P(，)，H,f=(』一P)(t，)，f∈，其中是恒等算子．一个带有符号≯的简化的(1ittle或者reduced)Hankel算子定义为：，he(f)=(，)，f∈，其中

5、表示(B，dr)到上的正交投影．如果Po是到常数的秩l投影，则Pof：f(z)dv(z)，容易看出一P—Po一P(即一Po的值域包含在一P的值域中)．在这种情形，he比“更小”，这就是为什么称是简化的Hankel算子．因此是有界的(或是紧的)表明he是有界的(或是紧的)．在Bergman空间上，小(smal1)Hankel算子r西定义为：Fcf=P(．厂)，f∈L。。其中是(B，d)_÷2(Bn，dv)的酉算子，并且(Uf)(z)=，()，z=(Zl，Z2，···，)∈B通过直接的验证，下面命题成立．命题1．1下列关系式是成立的其中()=()，对Z∈B第4期孙志玲等：多重调和Bergman

6、空间上的Toeplitz算子和Hankel算子395令Q是(B，dv)到上的正交投影．多重调和Bergman空间2上的带有符号的Toeplitz算子和Hankel算子分别定义为：，=Q(，)，豆，：(一Q)(，)，f∈在上，带有符号的小Hankel算子定义为：西，=Q(咖，)，f∈显然，由上面的定义有F=U．文献⋯运用把单位圆盘上调和Bergman空间上的Toeplitz算子分解成Bergman空间上的Toeplitz算子和小Hankel算子的技巧，刻画了单位圆盘的调和Bergman空间上的紧Toeplitz算子．利用这个结果，建立了相应的Toeplitz代数和Hankel代数的短正合列．

7、本文在单位球B上的多重调和Bergman空间上研究相应问题．文献f2]完全描述了单位球Bergman空间上Toeplitz算子的紧性．文献『31给出了单位球和多圆盘上紧Hankel算子的一些等价条件．文献f41研究了单位球上Bergman空间上的Toeplitz代数．运用这些结果，刻画了多重调和Bergman空间上的紧Toeplitz和Hankel算子．根据这些算子紧性的特征，对函数E(面)，研究了由Toeplitz算子