小片试验与几种非协调有限元列式的几点注记.pdf

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1、小片试验与几种非协调有限元列式的几点注记李丽华郑长良2(河北科技师范学院数理系河北秦皇岛492大连理工大学力学系)摘要从分片试验条件出发讨论了几种平面弹性非协调有限元列式说明了理性元~自由列式和精化直接刚度列式之间的相互联系G关键词分片试验9非协调有限元9理性元9自由列式9精化直接刚度列式中图分类号024.文献标识码文章编号2(24)自Wilson[]引入非协调模式以改进协调的4单元以后非协调有限元开始受到了极大的关注G迄今为止已有多种非协调有限元格式为众多研究者提出诸如拟协调元~广义协调元~自由格式~精化直接刚度法~理性元等G这些有限元列式的提出大大地丰富了有限元理论和方法G与之相应非协调元

2、的收敛性条件的研究也为数学家们所关注G分片试验因为其简单易行已普遍被接受为一种检验非协调单元收敛性的一条重要准则这种检验通常多是后验性的G而将分片试验作为先验性的条件在构造单元时预先加以考虑的有自由格式列式和理性元两种而精化直接刚度法是满足以弱连续'条件为起点进行单元构造的一种方法从其得到的最终结果可见其与考虑分片试验异曲同工Gl分片试验条件与几种非协调元列式下面从分片试验条件出发讨论理性元~自由列式~精化直接刚度列式三种单元列式的相互关联G以R4[4]单元为例其位移场为u=[N]{On}(){u}22yI-uIy/2-Iy(uIy)/2[N]=(2)[-I-uyyI/2(I2uy2)/2-I

3、y]On=O=2()O=2为广义参数G[N]中各项满足拉梅方程为该方程个基本解G对应的应变场为BuBIBu{}==[BO]{On}(4)ByBuBuByBI其中F-u-yuIT[BO]=-uuy-I(5)LJ{un}=[T]{On}()un=uu=24()收稿日期229修改稿收到日期2421期李丽华等小片试验与几种非协调有限元列式的几点注记37T[kU]=[BU][Hm][BU]dA(8)Ae[Hm]=h[H](9)单元刚度阵为:e-T-1[k]=[T][kU][T](10)由(10)式定义的单元刚度阵不能通过分片试验0为了保证单元的收敛性需要对此进行修正0考虑分片试验的要求对于三个常应力状态

4、:6和6其对应于U和U其I=16y=1Iy=14=1/EU5=1/E6=1/G对应的广义内力向量为:{fUI}{fUy}{fUIy}:=<000Ae-UAe000>=<000-UAeAe000>=<00000Ae00>定义矩阵[fU]:[fU]=[{fUI}{fUy}{fUIy}](11)另一方面对应于三个常应力状态的外力向量{f组成如下矩阵:I}{fy}{fIy}[fIy]=[{fI}{fy}{fIy}](12)1其中:=21=<0I420I230I240I31>21=

5、4y42I31y13>2Izj=Ij-Izyzj=yj-yz为了通过分片试验须满足:T[fU]=[T][fIy](13)事实上上面的关系式并不自动满足为此钟万勰等[4]对[T]加以修正以[T取代[T]于是有:1]e-T-1[k]=[T1][kU][T1](14)如果考虑如下的分解[5]:[BU]=[BU]6+[BU]h(15)其中:T0001-U000[BU]6=000-U1000(16)L00000100T000000-yUI[BU]h=000000Uy-I(17)L00000000分片试验的条件可写为:TTAe[BU]6=[T][fIy](18)那么从上式出发有两种修正方式可以考虑:修正[

6、T]得(14)式;T代以1[T]T[f修正[BU]6将[BU]6Iy]得到:Aee1T-T-1[k]=[fIy][Hm][fIy]+[T][kU]h[T](19)Ae上式结果与自由格式单元[2]的结果一致0非协调单元的精化直接刚度法[3]是从单元间弱连续条件出发经推导可以得出与第二种修正完全相同的列式说明弱连续条件与分片试验要求是相通的0精化直接刚度法没有提出单元位移场要满足拉38河北科技师范学院学报18卷梅方程9而理性元和自由格式单元的位移场是满足拉梅方程的9其目的是为了提高单元的精度和效率9其处理方法也完全适用于一般多项式插值9并无任何局限O但在构造单元时9对于拉梅方程基本解的选用9有一些

7、问题是需要加以注意的O例如9满足拉梅方程的二次多项式解共有10个9可表达如下,22Iy(-I+y)/2[]I[[]22](20)(I-y)/2Iy如果选取前8项构造单元9见式(2)9即RO4元9可给出精度较高的结果9但此时单元不满足坐标不变性O如果选取如下8项构造单元,2210yI-ZIy/2Iy(-I+y)/2[]I(21)[01-I-ZyyI/2(I2-y2)/2Iy]从表面上看两者插值阶次相