初中函数总复习.doc

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1、初中函数总复习（－）　　函数研究的是变量数学，它较之常量数学能更深刻地反映客观世界中量与形的关系，从而使函数成为近代数学中很多分支的基础；函数与代数中的代数式、方程、不等式等基础知识有密切的联系，用函数的观点能更透彻地理解和灵活地运用这些基础知识；函数的内容中蕴含着丰富的数学思想因素，有利于培养辩证唯物主义观点。　　一、用函数概念与性质解题：　　用函数概念与性质解题　　例1．已知一次函数y=(3a-2)x+(1-b)，求字母a,b的取值范围，使得：　　（1）y随x的增大而增大；　　（2）函数图象与y轴的

2、交点在x轴的下方；　　（3）函数的图象过第1、2、4象限。　　解：a、b的取值范围应分别满足：　　（1）由一次函数y=kx+b(k≠0)的性质可知：　　当k>0时，函数值y随x的增大而增大，即3a-2>0,　　∴a>,且b取任何实数。　　（2）函数图象与y轴的交点为（0,1-b），　　∵交点在x轴的下方，　　∴　　即a≠,b>1　　（3）函数图象过第1、2、4象限，则必须满足　　说明：下面是y=kx(k≠0),y=kx+b(k≠0)的图象的特点和性质的示意图，如图1，当k>0时，y随x的增大而增大；当b

3、>0时，图象过一、二、三象限，当b=0时，是正比例函数，当b<0时，图象过一、三、四象限；当y=x时，图象过一、三象限；且是它的角平分线，由于常数k、b不同，可得到不同的函数，k决定直线与x轴交角的大小，b决定直线与y轴交点的位置，由k定向，由b定点。同样，如图2，是k<0的各种情况，请指出它们的图象的特点和性质。　　本题反映了这些性质的应用。　　　　　　例2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点P是第一象限内的直线y=6－x上的点，O是坐标原点（如图所示）：　　（1）P点坐标设为(x,y)，

4、写出ΔOPA的面积S的关系式；　　（2）S与y具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y的取值范围；　　（3）S与x具有怎样的函数关系？写出自变量x的取值范围；　　（4）如果把x看作S的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围；　　（5）当S=10时，求P的坐标；　　（6）在直线y=6－x上，求一点P，使ΔPOA是以OA为底的等腰三角形。　　分析：函数的概念中，有两个变量，要分清对应关系，哪一个字母是函数，哪一个是自变量。比如“把x看作S的函数”时，对应关系为用S表示x,其中S是自变量，x是

5、函数。　　解：（1）过P点作x轴的垂线，交于Q，　　SΔOPA=

6、OA

7、·

8、PQ

9、=×4×y=2y.　　（2）S与y成正比例函数，即S=2y，　　自变量y的取值范围是0

10、x=-+6=-+6=1,S=2y,10=2y,　∴y=5,　　∴P点的坐标为（1，5）。　　（6）以OA为底的等腰ΔOPA中，　　∵OA=4，∴OA的中点为2，∴x=2,　　∵y=6-x,∴y=4.即P点坐标为（2，4）。　　说明：数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念。函数的本质就是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，是一种特殊的对应关系。　　本例的第（1）问是“SΔOPA”与“y”的对应关系，呈现正比例函数关系，y是自变量；第（3）问是“S”与“x”的对应关系，呈现一次函数关系，x是自变量；第（

11、4）问是“x”与“S”的对应关系，呈现一次函数关系，S是自变量，不要被是什么字母所迷惑，而是要从“对应关系”这个本质去考虑，分清哪个是函数，哪个是自变量。　　例3．作出函数y=x,y=()2,y=的图象，它们是不是同一个函数？　　解：函数y=()2的自变量x的取值范围是x≥0,　　函数y=在x≠0时，就是函数y=x；而x=0不在函数y=的自变量x的取值范围之内。　　由此，作图如下：　　　　　它们不是同一个函数。　　二、有关函数的综合题：　　例1．二次函数y=2x2+ax+b的图象经过（2，3）点，并且其

12、顶点在直线y=3x-2上，求a、b。　　分析：确定待定系数a、b需要两个条件，经过（2，3）点是一个条件，另一个条件是顶点在直线y=3x-2上，即顶点坐标满足直线的解析式，可以设二次函数的顶点式：y=2(x+m)2+n，则n=3(-m)-2.　　解：设y=2(x+m)2+n.　　将（2，3）代入，得3=2(2+m)2+n.............(1)　　将顶点(-m,n)代入y=3x-2,得n=3(-m)-2............(2)