解答题重难点题型(七)-第22题类比、拓展探究题.doc

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1、解答题重难点题型(七)　第22题类比、拓展探究题　　(2016·河南T22·10分)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.填空：当点A位于________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为________．(用含a，b的式子表示)(2)应用点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，

2、点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．【思路点拨】　(1)当点A在线段CB延长线上时，AC长度最大；最大值是AB与BC长度之和；(2)①图中与BE相等的线段是CD.运用三角形全等的判定方法即可证明；②因为BE＝CD，所以求BE的最大值即求CD的最大值，根据(1)中结论可知CD的最大值为BD与CB的长度之和；(3)通过(2)的学习可知，如图4，需要构造△BPN≌△MPA，则BN＝AM，由(1)得当点N在BA的延长线上时，NB有最大值(如图

3、5)，易得AN＝2，所以AM＝NB＝3＋2.过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝EA＝，从所以P(2－，)．　解：(1)CB的延长线上　a＋b2分(2)①CD＝BE，理由如下：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°.∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.5分在△CAD与△EAB中，∴△CAD≌△EAB(SAS)．∴CD＝BE.6分②BE长的最大值是4.8分(3)AM的最大值3＋2，点P的坐标为(2－，).10分【解法提示】　如图4，连接BM，∵将△APM绕着点P顺

4、时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM.∵A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，∴OA＝2，OB＝5.∴AB＝3.∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值．∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB＋AN.∵AN＝AP＝2，∴最大值为2＋3.如图5，过P作PE⊥x轴于点E，∵△APE是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝.∴OE＝OA－AE＝2－.∴P(2－，)．　(2015·河南T22·10分)如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D

5、，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝；(2)拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明；(3)问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．【思路点拨】　(1)①根据题意可知DE是△ABC的中位线，根据中位线的性质和勾股定理求得AE的长度即可求解；②根据旋转180°，画出图形，结合①，分别得到AC，CE，BC和CD的长即可求解；(2)由(1)可知＝，结合旋转的性质得到

6、＝任然成立，运用两边对应成比例，夹角相等求得，△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质，求得的值．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时分两种情况讨论，即边DE在BC上方和在BC下方，再针对每一种情况分类讨论计算即可．【自主解答】　(2)证明：在图1中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴＝仍然成立．在图2中，又∵∠ACE＝∠BCD，∴△ACE∽△BCD.∴＝.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，∴＝＝，∴＝.∴的大小不变．(3)4或.提示：如图3，当△EDC在

7、BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC＝4；如图4，当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD＝＝8，∴AE＝AD－DE＝6，根据＝可求得BD＝.1．(2017·河南T22·10分)如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是PM＝PN，位置关系是PM⊥PN；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的

8、位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．解：(2)等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得∠BAD＝∠CAE.又A