三次函数专题.doc

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1、三次函数专题一、定义：定义1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。定义2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式。由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性。一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间。（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心。三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式

2、对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题。（1）当△=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当△=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。此时：①若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。②若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。③若，即与中有且只有一个值为0，所以，原

3、方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题。若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x)(或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。当时，三次函数在上的极值点要么有两个。当时，三次函数在上不存在极值点。5、最值问题。函数若，且，则：；。三、例题讲解：例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。解：①式无解，②式的解为，因此的取值范围是.例2、已知函数满足（其中为常数）．（

4、1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数；（3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积．解：（1）由，得．取，得，解之，得，∴．从而，列表如下：1＋0－0＋↗有极大值↘有极小值↗∴的单调递增区间是和；的单调递减区间是．（2）由（1）知，；．∴方程有且只有两个不等的实数根，等价于或．………8分∴常数或．（3）由（2）知，或．而，所以．令，得，，．∴所求封闭图形的面积．例3、（恒成立问题）已知函数有极值．（1）求的取值范围；（2）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围．解：（1）∵，∴，要使有极值，则方程有两个实数解，从而△＝，∴．（2）∵在处

5、取得极值，∴，∴．∴，∵，∴当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．∴时，在处取得最大值，∵时，恒成立，∴，即，∴或，即的取值范围是．例4、（信息迁移题）对于三次函数。定义：（1）的导数（也叫一阶导数）的导数为的二阶导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称。（1）己知，求函数的“拐点”的坐标；（2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称;（3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。解：（1）依题意，得：，。由，即。∴，又，∴的“拐点”坐标是。（2）由(1)知“拐

6、点”坐标是。而===，由定义(2)知：关于点对称。（3）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.例5、（与线性规划的交汇问题）设函数,其中,是的导函数.　　(1)若,求函数的解析式;　　(2)若,函数的两个极值点为满足.设,试求实数的取值范围.解:　　　　　(Ⅰ)据题意,　　　　　　由知,是二次函数图象的对称轴　　　　　　又,故是方程的两根.　　　　　　设,将代入得　　　　　　　　比较系数得:　　　　　　故为所求.　　　　　另解：，　　　　　据题意得　　解得　　　　　　故为所求.　　　(

7、2)据题意,,则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又是方程的两根,且　　　　　则  　　　　　则点的可行区域如图　　　　　　　　　　的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值　　　　　　　故的取值范围是例6：（1）已知函数f(x)=x3-x,其图像记为曲线C.（i）求函数f(x)的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数x1,曲线C与其在点P1（x1,f(x1)））处