几何与线性代数习题18.doc

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1、习题一向量及其线性运算一、填空题：1．下列等式何时成立：1），当；2），当；3），当；4），，当。2．，当。3．指出下列向量组是线性相关还是线性无关：1）是线性相关；2）不平行，是线性无关；3）共面，是线性相关;4），不共面，是线性无关。二、用几何作图证明：1）2）证明：三、设为线段上任一点，证明：存在数，使得。证明：与平行，可设所以，。四、已知向量，问向量是否共面？如果共面，写出它们的线性表示式。解：因为（1）所以向量共面。线性表示式为（1）式。习题二空间直角坐标系一、填空题：1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是；关于平面的对称点是

2、；关于平面的对称点是；关于原点的对称点是。2．在空间直角坐标系中，点的对称点的坐标是；关于轴的对称点是；关于轴的对称点是。3．在空间直角坐标系中，点在平面上的投影点坐标是；在平面上的投影点是；在平面上的投影点是；在轴上的投影点是；在轴上的投影点是；在轴上的投影点是。4．在空间直角坐标系中，点平面的距离是3；到平面的距离是2；到平面的距离是1；到原点的距离是；到轴的距离是；到轴的距离是；到轴的距离是。二、已知点，点在连接、的直线上，且，求点的坐标。解：设的坐标为，则有由条件，。三、已知向量，求的方向余弦及与平行的单位向量。解：设的方向余弦为，则。四、设，计算。解：。二、设三力作用于一

3、点，求合力的大小和方向余弦。解：合力方向余弦为：。习题三向量的内积和外积一、判断题：1．若，且，则。（错）2．共面的充分必要条件是。（对）3．。（错）4．（对）二、已知向量，试计算1．2．3．解：1）；2）3）。三、证明：向量和向量垂直。证明：由于，所以与垂直。四、已知垂直，且，计算：1．；2．。解：1）因为与都垂直，所以与也垂直，因此，=。注：因为垂直，所以。2）。五、已知向量不共线，证明：的充要条件是。证明：类似可证。，若于，平行于，从而共线，矛盾，所以。六、已知：。问：1）为何值时，与平行；2）为何值时，与垂直。解1），当与平行时，与平行时，，。2），因为与垂直，所以。七、已

4、知：，求。解：，因此，。八、若与垂直，垂直，求的夹角。解：由题设，由（1）、（2）可得：。九、已知，其中，求三角形的面积。解：习题四向量运算的坐标表示及其运算一、填空题：1．平行于轴的向量一般表示式是；平行于轴的向量一般表示式是；平行于轴的向量一般表示式是。2．向量，，它们的夹角。3．向量，，当=与=时，平行。二、设三力，，作用于一质点，使质点产生的位移向量，求合力所做的功。解：合力。一、若向量的起点和点重合，试确定它的终点的坐标。解：设的坐标为，则，所以，。二、从点作向量，使，其中，且，求点的坐标。解：设的坐标为，则，由于平行于，所以不妨设，则，由知：，，所以或。一、向量上的投影

5、向量。解：向量上的投影向量为。二、求单位向量，使它和向量都垂直。解：显然同时垂直于，，所以所求单位向量为。三、三角形的三个顶点为，求其面积。解：。四、（1）向量是否共面？若不共面，试计算以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。解：因为所以不共面，以这三个向量为棱所作的平行六面体体积。（2）已知以向量为棱所作的平行六面体体积等于4，求的值。解：因为所以，所以。习题五平面及其方程一、填空题：1．平行于平面且与此平面的距离为3的平面方程是。2．如果平面与平行，则2；若垂直，则-10。二、求满足下列条件的平面方程：1．过原点引平面的垂线，垂足是点的平面方程。解：平面的法向量，故由平面的点法式

6、方程知平面方程为：即。2．通过点且平行于向量的平面方程。解：平面的法向量可取为，由点法式知平面方程为：即。3．通过点和且平行于轴的平面方程。解：，由题设可取平面的法向量，所以所求平面方程为，即。4．通过点且在轴上截距相等的平面方程。解：设所求平面方程为由条件得：，因此，所求平面方程为。5．求通过三点的平面方程。解：解：由三点式方程可得所求平面方程为：化简得：。三、求过轴且垂直于平面的平面方程。解：所求平面的法向量可取为，由于平面过原点，所以所求平面方程为即。四、求过点且垂直于平面的平面方程。解：平面的法向量可取为，所以所求平面方程为：，即。五、已知两平面，求平分它们所夹二面角的平面

7、方程。解：设为所求平面上任一点，则到两平面的距离相等，因此，即，化简可得：或。习题六空间直线及其方程一、填空题：1．过点的直线方程是。2．过点且垂直于直线的平面方程是。3．过点且垂直于平面的直线方程是，点在此平面上的投影点坐标是；点关于此平面的对称点坐标是。4．求下列各组中的直线和平面的关系（相交、平行、垂直或直线在平面上）：（1），平行；（2），垂直；（3），直线在平面上。二、求直线的对称式与参数式方程。解：在直线上取一点直线的方向向量可取为：，所以，直线的对称式方