数列求和综合应用及作业.doc

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1、数列求和及其综合应用[真题感悟]1．(2013·福建卷)已知等比数列{an}的公比为q，记bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是(　　)A．数列{bn}为等差数列，公差为qmB．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D．数列{cn}为等比数列，公比为qmn2．(2013·辽宁卷)已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5

2、x＋4＝0的两个根，则S6＝________.3．(2013·江苏卷)在正项等比数列{an}中，a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．4．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．1．求数列的通项公式(1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察，归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明．(2)利用前n项和与通项的关系an＝(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(4

3、)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(5)在已知数列{an}中，满足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的an.(6)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．2．常见的求和的方法(1)公式法求和10适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列利用公式法求和时，一定注意公式q是否取1.(2)错位相减法这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn

4、}分别是等差数列和等比数列．(3)裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为的数列的前n项和．其中{an}若为等差数列，则＝.(4)倒序相加法这是推导等差数列前n项和时所用的方法．将一个数列倒过来排序，它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(5)分组求和法一个数列即不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，即能分别求和，然后再合并．3．在数列求和时，为了证明的需要，需合理变形，常用到放缩法，常见的

5、放缩技巧(1)<＝.(2)－<<－.(3)2(－)<<2(－)．(4)利用(1＋x)n的展开式进行放缩.热点一　数列的通项与求和(裂项求和)【例1】已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an10}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n(n∈N*)都成立的最小正整数m.【训练1】(2013·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－

6、，n∈N*.(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.热点二　数列的通项与求和(错位相减法)【例2】(2013·山东卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋＝λ(λ为常数)．令cn＝b2n，(n∈N*)，求数列{cn10}的前n项和Rn.【训练2】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项

7、和Tn.热点三　数列中的探索性问题【例3】(2013·湖北卷)已知等比数列{an}满足：

8、a2－a3

9、＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．10【训练3】数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．审题示例(五)　探究数列与不等式交汇问题的解题思路10[针对

10、训练](2013·浙江丽水模拟)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝1，b1＝2，bn>0(n∈N*)，且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a3＋2成等比数列．(1)求数列{an}，{bn}