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1、专题----圆锥曲线问题1：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a，b，p等.例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.思路分析：设所求椭圆方程为或.根据题意列出关于a,b,c方程组，从而求出a,b,c的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离.解：设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或，离心率；准线方程，两准线的距离为16.点评：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程
2、时，已知条件常与这些参数有关.演变1：如图，已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程点拨与提示本题考查待定系数法求双曲线的方程，利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程，从而求出a、b的值问题2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例2：设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值.思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1：由已知，｜P
3、F1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝，若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时.若∠F2PF1为直角，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x>0,y>0），.若∠PF2F1为直角，则P（），这时｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时.若∠PF2F1为直角，则由，解得：.于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴
4、长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用｜PF1｜＝a+ex,｜PF2｜=a-ex来求解.演变2：已知双曲线的方程为,直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求
5、F1A
6、·
7、F1B
8、的最小值点拨与提示：由双曲线的定义得：
9、AF1
10、=(x1+)=x1+2，
11、BF1
12、=x2+2,
13、F1A
14、·
15、F1B
16、=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4，将直线方程和双曲线的方程联立消元，得x1+x2=,x1x2=─.本题要注意斜率不存在的情况.问题3：有圆锥曲线
17、的定义的问题 利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.例3：已知某椭圆的焦点F1（－4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足条件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.故椭圆的方程为.由点B（4，y0）在椭圆上，得｜F2B｜＝｜y0
18、＝，因
19、为椭圆的右准线方程为，离心率.所以根据椭圆的第二定义，有.因为｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列，＋，所以： x1+x2=8,从而弦AC的中点的横坐标为点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.演变3：已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线的顶点和准线.⑴求椭圆C的方程；⑵若点P为椭圆上C的点，△PF1F2的内切圆的半径为，求点P到x轴的距离；⑶若点P为椭圆C上的一个动点，当∠F1
20、PF2为钝角时求点P的取值范围.点拨与提示：本题主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用.根据抛物线确定抛物线的顶点和准线方程，从而得到椭圆的标准方程.解题时注意椭圆的定义的运用.问题4：直线与圆锥曲线位置关系问题 利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例4：抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x0≠0)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线
