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1、§3状态空间模型线性系统的两种基本数学描述及其特点输入-输出描述（微分方程描述或传递函数描述）：将系统看成一个“黑箱”，只反映系统外部输入变量与输出变量之间的因果关系，不去表征系统的内部结构和内部变量。它是一种不完全的描述，具有完全不同内部结构的两个系统也可能具有机同的外部特性。内部描述（状态空间描述）：是一种对系统的完全的描述，能完全表征系统的所有动力学特征。它实现了各种不同的系统（单变量，多变量，时变，时不变，线性，非线性等）描述形式的统一。适合描述复杂的动态系统。它的出现，推动了控制理论的发展，实现了由古典控制理论向现代控制理论的
2、过渡。状态变量能够完全表征系统动力学特征的一组独立的变量称为系统的状态变量。它是系统的内部变量.由状态变量构成的列向量称为状态向量。状态向量取值的空间称为状态空间。几点说明：状态向量在的值完全由和输入所唯一确定，而与时刻以前的状态值无关。对于一个给定系统，状态变量的选取不是唯一的。实际工作中总是尽量选择一些易测的量作为状态向量中的某些分量，以便用来作为反馈控制的直接依据。线性系统的状态模型设一个n维线性控制系统的状态向量为,输入向量为,输出向量为,状态模型=状态方程+输出方程状态方程描述输入作用引起状态变化的运动过程，为一一阶线性微分方
3、程组，（1）输出方程描述由状态和输入所决定的输出，为一代数方程组，记（状态矩阵）（输入矩阵）（输出矩阵）（输出-输入矩阵）(2)状态模型的矩阵表示为：显然，该系统完全由矩阵所确定。以后我们以{}形式来简记该系统。系统称为线性定常系统；如果各矩阵诸元素为时间的函数，则系统称为线性时变系统。状态模型与输入—输出模型的相互转换(1)化状态模型为输入—输出模型对状态模型两边取拉氏变换,并设得:解得:得传递函数矩阵为:的维数为,当时,它退化为单变量系统的传递函数.(3)Example设一线性系统的状态表示为试求其输入-输出微分方程.解:代入公式(
4、3)得则其输入-输出方程为:(2)化输入—输出模型为状态模型(仅讨论单输入-单输出情形)10先讨论简单情形，设输入-输出微分方程为这时令：得状态方程：和输出方程：（4）得：20一般情形，设输入-输出微分方程为在零初始条件下两边取拉氏变换得：改写为：（5）令（6）由（5）得：（7）（7）式即为（4）式的拉氏变换。令，（7）式便有与10相同的状态方程。由拉氏变换的初值性质，有同理又有同时,在附加条件后,可得即,当时,有:于是(6)的拉氏反变换为:这就是要求的输出方程。所以，当时，系统的状态模型中同10（不变），而变为：当时：此时传递函数矩阵
5、为：这时，状态方程不变（同上），而输出方程变为：Example分别求传递函数和2）的状态模型表示。1）解：1）m=1,n=2且状态模型为：解：2）所以状态模型为：所以§4与状态方程的解为计算状态方程先来考察对应的齐次方程的解,的解.(1)(2)设(2)式有如下形式的级数解:其中为待定向量,维数与相同.显然,由初始条件可得并将(3)式代入(2)式得:(3)比较两边的系数,可得:代入(3)得(2)的级数形式的解为:由矩阵理论知:所以为计算,对方程(2)求拉氏变换得,L-1[]由此得L-1[].(4)可由(4)式求(2)的解.Example求
6、.解:L-1[]的性质状态方程的解对方程两边取拉氏变换,得整理得求拉氏逆变换,由卷积性质得:,这就是状态方程的求解公式.(5)若取初始时刻为,则状态方程的求解公式变为:(6)记:则为时的状态解,称为零输入解;为时的状态解,称为零初态解;零输入解仅依赖初始状态(初始能量)的作用而使状态由转移到,这种转移也称自由转移;零初态解完全依赖的作用而使状态由转移到,这种转移也称受迫转移;在不恒为零的情况下,系统状态的转移则为两种单独转移的合成.和又称为转移矩阵.Example已知状态方程为试分别求和时的解.状态模型中的输出解将代入输出方程得:或更一
7、般地,在情形下,将代入输出方程得:Example已知状态方程为试求的输出解.§5离散时间模型及其解近年来，由于数字式元部件、数字式计算机，特别是微处理器的发展，数字式控制器在许多场合取代了模拟控制器。以数字控制器为核心的控制系统是一个离散系统。离散系统的数学定义在离散时间系统理论中，所涉及的数字信号总是以序列的形式出现的，因此可把离散系统抽象为：将输入序列变换为输出序列的一变换关系，称为离散系统。比如一阶离散系统一般形式为：当初值和输入给出时，其解可递推算出。5.1离散时间模型线性常系数差分方程连续系统的动态行为可由微分方程描述。对应的
8、，离散系统的动态行为可由差分方程描述。对于一个线性定常离散系统，时刻的输出，不但与时刻的输入有关，还与时刻以前的输入有关，同时还与时刻以前的输出有关。这种关系可由下面的差分方程描述：(1)此处，及都是常数，
