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1、上午好1经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如行阶梯形矩阵复习几个概念2经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如行最简形矩阵3对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如矩阵的标准形4§3矩阵的秩一、矩阵秩的概念例:求解三元线性方
2、程组其系数行列式为克拉默法则失效.上页下页返回解:(2)-(3),得5将x3看作参数变形得:其系数行列式为上页下页返回从而可得到一同解方程组.6其实,对系数矩阵任意选取一个不为零的2阶行列式作为系数行列式,所对应的方程组都可以组成相应的同解方程组.由克拉默法则可见方程组的解不惟一;另外也请注意，同解方程组也不惟一.上页下页返回7定义:m×n矩阵A中，位于任意取定的k行和k列交叉点上的k2个元素,按原来的相对位置组成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.上页下页返回二阶子式三阶子式8定义:m×n矩阵A中，有一个r阶子式不为零，R(A)=r.且任意r+1阶子式都为
3、零，则称数r为矩阵A的秩.记为规定:零矩阵的秩为0.上页下页返回对于n阶矩阵A,当时，R(A)=n；即可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，故可逆矩阵又称为满秩矩阵，不可逆矩阵又称为降秩矩阵.9(2)由行列式的性质知,R(AT)=R(A),R(kA)=R(A),(k≠0).(3)若A中有一个k阶子式不为零,则R(A)≥k；若A中所有k阶子式全为零，则R(A)＜k.(4)由行列式的性质知,当A中r+1阶子式全为0时,所有高于r+1阶的子式也全为0，因此R(A)=k≤r其中k就是A的非零子式的最高阶数.上页下页返回(1)由R(A)的定义知,若A=(aij)m×n,注:则R(A
4、)≤min{m,n}.10例1:求矩阵的秩.解:利用定义来计算各阶子式的值.A的一个二阶子式故R(A)≥2,即A中的4个三阶子式均为0.∴R(A)=2.上页下页返回11例2:求的秩.解:矩阵B中的最后一行的元素全是零,即知B的所有4阶行列式全为零,∴R(B)=3.上页下页返回而有一个3阶行列式不为零.一般可利用定义并结合秩的性质来求矩阵的秩.12二、用初等变换求矩阵的秩前例用定义求矩阵的秩的方法,当矩阵的阶数较高时,计算量就较大，而且容易漏算.下面介绍用初等变换求矩阵的秩的方法.13请观察行阶梯形矩阵的秩：容易知道，该行阶梯型矩阵的秩等于其非零的行数3.14再看
5、一般的行阶梯形矩阵：上页下页返回行阶梯型矩阵的秩等于其非零的行数.15定理:若AB,则R(A)=R(B).上页下页返回证：对矩阵作初等列变换相当于对其转置矩阵作初等行变换,所以只需证结论对初等行变换成立.当或时,设R(A)=r,则Ａ的某r阶子式在B中总能找到与D对应的r阶子式D1,或或故有,所有的r+1阶子式都为零．而所有的r+1阶子式都为零，从而16当上页下页返回17当中不含第i行元素，则B中有对应的Ｄ1,从而当中含第i行元素,上页下页返回18当中含第j行元素，有D2=0,故当中不含第j行元素，则D2也是B的r阶子式则由得D1与D2不同时为零，上页下页返回19
6、由此定理得到一个简便的求秩的方法用初等变换求矩阵的秩.即B中存在不为零的r阶子式，故综上所述，A经过一次初等变换变为B时，有由于B也可经过一次初等变换变因此为A，故也有经过一次初等变换矩阵的秩不变,所以经过有限次初等变换后,矩阵的秩也仍然不变.上页下页返回20推论1:设A是任一m×n矩阵,B是m阶满秩矩阵,则R(BA)=R(A).因为B可逆，证:即BA是A经过有限次初等行变换得到的.因此,由由前述定理知，R(BA)=R(A).同理R(AB)=R(A)(B可逆)即:用m阶(n阶)可逆阵左(右)乘矩阵A,不改变A的秩.上页下页返回21例3:设求A的秩，并求A的一个最
7、高阶非零子式.解:上页下页返回1.求A的秩22此为行阶梯形矩阵，且有3个非零行,∴R(A)=3.上页下页返回232．∵R(A)=3,故A的最高阶非零子式为3阶.A的3阶子式共有考察最后那个行阶梯型阵，其中非零行的非零首元素在1,2,4列,并注意到对A只进行过初等行变换,故可取A的子矩阵C对应的行阶梯形矩阵为可知R(C)=3,故C中必有3阶非零子式，上页下页返回24计算C的前三行构成的子式此子式即为A的一个最高阶非零子式.上页下页返回25例4:设A是m×n(m≤n)矩阵，且R(A)=m.证明:存在n×m矩阵B,使AB=Em.证:上页下页返回∵R(A)=m,故A的标
8、准形为（Em,0）.即存
