线性代数课件4-4向量空间.ppt

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1、§4向量空间（1）了解n维空间、子空间、基底、维数和坐标等概念；目的要求（2）掌握基变换公式和坐标变换公式的求法.一.引例：特征：a.集合中任一向量乘以任一实数后仍在集合中;b.集合中任两个向量相加仍在集合中.称V是一个向量空间.二.向量空间定义非空集合V，满足8条线性性质，则称集合V为向量空间.加法、数乘两种运算,8条线性性质：，记l直线l不是向量空间m直线m是向量空间3维向量全体是向量空间平面A是向量空间A子空间设有向量空间及，若向量空间　　　，就说的子空间是定义：注：对于由部分n维向量构成的非空集合是否做成向量空间只需验证加法和数乘的封闭性.由n维向量做成的非空集合若

2、关于向量加法和数乘向量两种运算做成向量空间，则是的子空间.中的运算满足8条线性性质，8条线性性质：，记向量空间的简单定义定义：设V为n维非空向量集合,满足加法与数乘的封闭性,则称集合V为向量空间.例1判别下列集合是否为向量空间.解:例1判别下列集合是否为向量空间.解:例1判别下列集合是否为向量空间.解:三.生成向量空间注意：注解：例2说明等价的向量组生成同一个向量空间；那么若向量组A生成向量空间V，则向量组A的的最大无关组也生成向量空间V.这个最大无关组就是向量空间V的基底.这个最大无关组所含向量的个数就是向量空间V的维数.思考：少于最大无关组个数的向量能生成V吗？四.向量

3、空间的基与维数那么，向量组就称为向量空间的一个基，称为向量空间的维数，定义设V是向量空间，如果有r个向量，且满足并称V为r维向量空间．说明（1）零向量空间维数为零；（4）若向量组是向量空间V的一个基则V可以表示为（2）非零向量空间含无穷多个向量；（3）向量的维数与向量空间的维数有区别：V的一组基=V的一最大无关组(不唯一性);V的维数=R(V)(秩)讨论：例1中两个向量空间的基.是n-1维向量空间，基可取当线性无关时，为2维向量空间，基可取为(1)(2)当线性相关时,若全为0，为0维空间；当线性相关时,且，为1维空间,基可取为例3五.向量的坐标解:注：实际上基表示坐标系，而

4、n维单位坐标向量组则表示直角坐标系，在此坐标系下向量的坐标恰好是其分量.例4解:注意:同一向量在不同基下的坐标一般会不同.六.基变换公式与过渡矩阵那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？问题：在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都可以作为V的一组基．对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．称此公式为基变换公式．由于基变换公式中矩阵P称为由基基变换公式到基的过渡矩阵．过渡矩阵是可逆的.七.坐标变换公式若则有坐标变换公式或证明例5坐标变换的几何意义由到的过渡矩阵设为P，则有思考题：齐次线性方程组的解集关于向量加法和数乘

5、向量两种运算做成向量空间吗？解：故做成向量空间.齐次方程组的解空间