等差数列的概念及通项公式课件（人教A版必修5）.ppt

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1、第二章数列2.2等差数列的概念及通项公式1．等差数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的公差，通常用字母表示．2同一个常数常数d如何用数学符号语言来表示等差数列的定义？提示：若数列{an}满足an－an－1＝d(n∈N*，且n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，则数列{an}为等差数列．2．等差数列的递推公式与通项公式已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，填表：递推公式通项公式＝d(n≥2)an＝＝am＋an－an－1a1＋(n－1)d(

2、n－m)d已知数列{an}，an＝2－3n，则数列的公差d＝________.提示：当n≥2时，an－an－1＝2－3n－[2－3(n－1)]＝－3.3．等差中项在由三个数a，A，b组成的等差数列中，叫做a与b的等差中项．这三个数满足关系式a＋b＝.A2A探究点一等差数列的基本运算利用等差数列的通项公式可以解决以下三类问题：(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，可求出第四个量；(2)已知数列{an}的通项公式，可以求出等差数列{an}中的任一项，也可以判断某一个数是否是该数列中的项；(3)若已知{an}的通项公式是关于n的一次

3、函数或常函数，则可判断{an}是等差数列．已知数列{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式．(1)a3＝5，a7＝13；(2)前三项为a,2a－1,3－a.[提示]要写出等差数列的通项公式，只需确定它的首项a1与公差d，然后代入an＝a1＋(n－1)d即可．1．等差数列中，已知a5＝11，a8＝5，求a10.探究点二等差数列的判定与证明等差数列是一类特殊的数列，是中学数学的一个重要内容，而等差数列的证明问题往往作为一个数列解答题的一部分，是解决其他问题的基础，因此必须熟练掌握证明等差数列的方法．证明一个数列是等差数列常用

4、的方法如下．(1)定义法：若an－an－1＝d(常数)(n≥2，且n∈N*)⇔{an}为等差数列；(2)等差中项法：若2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)⇔{an}为等差数列．[提示]先将递推公式变换，运用整体代换．探究点三等差数列的实际应用求解与等差数列有关的应用性问题，最关键的是从实际问题中提炼出适合实际问题的等差数列模型，将实际问题转化为一个等差数列的问题进行求解．某公司经销一种数码产品，2001年可获利200万元，从第二年起，由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产

5、品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[提示]建立等差数列的模型，利用通项公式解决问题．[解]设从2001年起，第n年的利润为an，则a1＝200，an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.∴每年的利润将构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，∴由an＝220－20n＜0，得n＞11.即从2012年起，该公司经销此产品将亏损．2．甲虫是行动较快的昆虫之一．下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t/s123…？…60距离s

6、/cm9.819.629.4…49…？(1)你能建立一个模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？(2)利用建立的模型计算，甲虫1min能爬多远？它爬行49cm需要多长时间？已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；(2)求{an}的通项公式．[错解](1)∵an＝an－1＋2，∴an－an－1＝2(为常数)．∴{an}是等差数列．(2)由上述可知，an＝1＋2(n－1)＝2n－1.[错因]忽视首项与所有项之间的整体关系，而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错误．

7、事实上，数列{an}从第2项起，以后各项组成等差数列，而{an}不是等差数列，an＝f(n)应该表示为“分段函数”型．因此我们在判断等差数列时，要严格按其定义判断．[正解](1)当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，∴{an}不是等差数列．