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1、导数压轴题专项分析内容提要纵观历年高考真题，我们发现高考数学既注重考查中学数学基础知识的掌握程度，又体现选拔培养拔尖人才功能.因此高考数学压轴题，常以高等数学为背景命题，掌握罗比塔法则，确立分类讨论的标准，处理解答这类导数压轴题行之有效的方法.本文以2020届四川省成都二诊函数与导数压轴题为例，分析解剖，首先归纳同构思想，然后介绍洛必达法则实际应用，以供读者参考.归纳类型①同构式与方程问题②同构式与不等式问题③同构式与反函数问题④洛必达法则与分类讨论问题1.（2020届四川省成都二诊12题理）已知函数，若存在，使得成立，则的最大值为（）A.B.C.D.①同构式与方程问题【分
2、析】，，观察共性，借助共性，构造函数，利用函数单调性解方程.【解析】由，得，在单调递增，单调递减，且满足.则在单调递增，当时，.，，，，.于单调递增，单调递减..故选C.【评析】本题主要考查同构思想，通过恒等变形，构造函数，利用导数研究函数单调性解方程，注意左右代数结构一致，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.2.（2020届四川省成都二诊12题）已知函数，若存在，使得成立，则的最小值为（）A.B.C.D.【分析】，，观察共性，借助共性，构造函数，利用函数单调性解方程.【解析】由，得，在单调递增，单调递减，且满足.则在单调递增，当时，.，，设，（），则.于
3、单调递增，单调递减.，故选D.②同构式与不等式问题变式1：1．(2019湖南长沙一中高三月考理数)若对任意，恒有，则实数的最小值为（）A．B．C．D．【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.【解析】由题意可知，不等式变形为.设，则.当时，即在上单调递减.当时，即在上单调递增.则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.所以，即在上单调递增.若使得对任意，恒有成立.则需对任意，恒有成立.即对任意，恒有成立，
4、则在恒成立.设则.当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.所以，即，则实数的最小值为.故选：D【评析】本题主要考查同构思想，通过恒等变形，构造函数，利用导数研究函数单调性解不等式，注意左右代数结构一致，考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.变式2．（2019浙江杭州第二中学高三月考）已知不等式对恒成立，则实数的最小值为（）A．B．C．D．【解析】不等式对恒成立，可变形为,即对恒成立，设，则，当时,,即在时单调递增当时,,即在时单调递减因而在上恒成立即可，当时,，而当时(因四个选项都小于0,所以只需讨论
5、的情况)因为在时单调递减,若，只需不等式两边同取自然底数的对数,可得，当时,，化简不等式可得，只需令,，则,令，解得当时,,则在内单调递增，当时,,则在内单调递减，所以在处取得最大值,，故，所以实数的最小值为，故选:C.【评析】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用同构思想，构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,考查数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.③同构式与反函数问题例2．（2020全国高三月考）已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为______.【分析】先将不等式变形为，令，，由与互为反函数得
6、只需要即可，即，然后用导数求出左边的最小值即可.【解析】显然，由，得，则令，，因为与互为反函数，所以只需要即可，即，令，则，所以可得在上单调递减，在上单调递增，所以，即.故答案为：【评析】利用同构思想，观察互为反函数，根据互为反函数的两个函数的图象关于对称.3．（2020届四川省成都二诊21题理）已知函数，其中m∈R．（Ⅰ）当m>0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设，若，在上恒成立，求实数m的最大值．④洛必达法则与分类讨论问题【分析】分离参数，当时，出现“”型代数式，，确定分类讨论的划分标准.【评析】不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最
7、值问题，但是分离后函数结构过于复杂，建议使用罗比塔法则，探寻分类讨论边界，语言描述更为简练.4.（2020届四川省成都二诊21题）已知函数，其中．（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设．若在(1，+∞)上恒成立，求实数的取值范围．【分析】分离参数，当时，出现“”型代数式，，确定分类讨论的划分标准.【解析】【评析】不等式恒成立问题中求参数范围的一般采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题，但是分离后函数结构过于复杂，建议使用罗比塔法则，探寻分类讨论边界，语言描述更为简练.变式：（2020浙江杭州高级中学高三）已知.（1）
