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1、第7章数值积分§1插值型求积公式§2复化求积公式§3龙贝格(Romberg)求积方法9/2/20211§1插值型求积公式在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)在区间［a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用牛顿―莱布尼兹公式(7―1)来求定积分。9/2/20212公式(7―1)虽然在理论上或在解决实际问题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情况:(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简单的函数,例如其原函数都不能用初等函数表示成有
2、限形式。9/2/20213(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。其被积函数的原函数就比较复杂,从数值计算角度来看,计算量太大。(3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。例如定积分9/2/20214图7.1如图7.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左矩形公式(7―2)9/2/20215同样可得到右矩形公式：(7―3)9/2/20216图7.2如图7.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面积,则得到计算定积分的梯形公式(7―4)9/2/20
3、217如图7.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线公式(或辛普生公式)(7―5)图7.39/2/20218此外,众所周知的梯形公式:I(f)≈(b-a)[f(a)+f(b)]/2和Simpson公式:I(f)≈(b-a)[f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]/6则分别可以看作用a,b,c=(a+b)/2,三点高度的加权平均值[f(a)+f(b)]/2和[f(a)+4f(c)+f(b)]/6作为平均高度f(ξ)的近似值.9/2/20219更一般地,取区间[a,b]内n+1个点{xi},(i=0,1
4、,2,…n)处的高度{f(xi)}(i=0,1,…,n)通过加权平均的方法近似地得出平均高度f(ξ),这类求积方法称为机械求积:9/2/202110或写成:数值积分公式求积系数求积节点(1)9/2/202111记称(2)为数值求积公式,(3)为求积公式余项(误差).构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有(i)确定求积系数Ak和求积节点xk；(ii)求积公式的误差估计和收敛性为了构造形如式(2)的求积公式,需要提供一种判定求积方法精度高低准则9/2/202112求积公式的代数精度定义1称求积公式(2)具有m次代
5、数精度,如果它满足如下两个条件:(i)对所有次数≤m次的多项式,有(ii)存在m+1次多项式,使得定义1中的条件(i),(ii)等价于:9/2/202113插值型求积公式在积分区间[a,b]上取n+1个节点xi，i=0,1,2,…,n,作f(x)的n次代数插值多项式（拉格朗日插值公式）:则有为插值余项于是有9/2/202114取称(4)式为插值型求积公式,其中求积系数Ak由(5)式确定.(4)(5)Ak由节点决定，与f(x)无关。9/2/2021159/2/202116推论1求积系数满足:误差定理1形如的求积公式
6、至少有n次代数精度该公式为插值型（即：）9/2/202117现用第六章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函数f(x),即有1.1牛顿―柯特斯公式(Newton―Cotes)取节点为等距,即a=x0＜x1＜…＜xn=b建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简单又有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于是有9/2/202118利用拉格朗日插值多项式(7―6)其中(7―7)9/2/202119这里yi=f(xi),对式(7―6)两边积分得9/2/202120为牛顿―柯特斯(Newton-Cot
7、es)求积公式,Rn(f)为牛顿―柯特斯求积公式的余项。我们称9/2/202121令x=x0+sh,0≤s≤ndx=hds=(b-a)/nds(7―11)9/2/202122Newton-Cotes公式的误差为:与x有关注意:由(7-11)式确定的Cotes系数只与i和n有关,与f(x)和积分区间[a,b]无关,且满足:(7-9)9/2/202123称Ci(n)为柯特斯求积系数。很显然,当n=1时,可算得此时式(7―10)为(7―12)这是梯形公式。9/2/202124当n=2时,可得于是(7―13)这是抛物线(
8、Simpson)公式。9/2/202125当n=3时,代入(7―10)式得到求积公式9/2/202126类似地可分别求出n=4,5,…时的柯特斯系数,从而建立相应的求积公式。具体结果见表7―1。从表中可以看出,当n≤7时,柯特斯系数为正;从n≥8开始,柯特斯系数有正有负。因此,当n≥8时,误差有可能传播扩大,牛顿―柯特斯求积公式不宜采用。柯特斯系数Ci(n)仅与n和i有关
