计算方法Chapter02-数值积分ppt课件.ppt

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1、二　数值积分1数值积分数值积分概述机械求积公式求积公式的代数精度牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）求积公式复化求积龙贝格（Romberg）求积高斯（Gauss）求积数值微分2数值积分概述设函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，且F(x)=f(x)，理论上可以用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分：然而在生产实践和科学研究中，极少直接用上述公式进行求积。原函数无法用简单的初等函数表示出来3数值积分概述（续）被积函数f(x)是以表格形式给出，无法得到它的原函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达

2、式过于复杂，利用牛顿-莱布尼兹公式直接求积不方便4机械求积0xyabxf(x)y=f(x)积分中值定理：f(x)在积分区间[a,b]上的平均高度未知5机械求积（续）中矩形公式：辛普森（Simpson）公式：梯形公式：6机械求积（续）可以在积分区间[a,b]中选择若干个节点xi，用这些节点处的高度（函数值f(xi)）的加权平均值近似替代f(x)，从而构造出如下所示的求积公式：求积系数求积节点其中加权系数：更一般的形式：7机械求积（续）特点：求积系数Ai仅与节点xi和积分区间宽度有关，与被积函数f(x

3、)的具体形式无关公式具有通用性避开了原函数的求解计算机械求积公式：8代数精度余项代数精度的定义对于一切次数m的多项式均准确成立，而对于次数>m的某个多项式不能准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。如果求积公式：9代数精度（续）考查梯形公式的代数精度零次多项式梯形公式对一切零次多项式均准确成立10代数精度（续）一次多项式梯形公式对一切一次多项式均准确成立11代数精度（续）二次多项式不恒等12代数精度（续）如果机械求积公式对能准确成立，则它对一切k次代数多项式均准确成立。机械求积公式对一切均准确

4、成立，则有：13代数精度（续）系数A0,A1,A2，使得上式的代数精度尽可能高。解：分别设f(x)=1,x,x2，则有：三式联立解得：14所以上述求积公式的代数精度为3代数精度的求法：考查f(x)=1,x,x2,x3…，依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的机械求积等式的f(x)是xm，则求积公式的代数精度为m-1。15代数精度（续）定理：对于任意给定的n+1个互异的求积节点总存在系数A0,A1,...,An，使得求积公式的代数精度至少为n。16代数精度（续）对于准确成立证-1：若机械求积公式

5、具有至少n次代数精度则17代数精度（续）在求积节点给定的情况下，求积公式的构造本质上是个解线性方程组的代数问题。系数行列式为范德蒙行列式V，当求积节点互异时，V0,则求积系数Ak唯一存在。范德蒙行列式18若是不高于n次的代数多项式，则代数精度（续）证-2：若已知插值节点处的函数值，则可构造n次代数多项式：19插值型求积公式n次Lagrange插值多项式：去逼近f(x)。因此：插值型求积公式20插值型求积公式（续）给定n+1个积分节点xi以及相应的函数值f(xi)，i=0,1,...,n。则求

6、积公式：代数精度至少有n次求积公式为插值型证：必要性：以为插值节点的Lagrange插值基函数也是一个n次代数多项式，如求积公式的代数精度至少有n次，则：21若是不高于n次的代数多项式，则充分性：若已知插值节点处的函数值，则可构造n次代数多项式：插值型求积公式（续）22插值型求积公式（续）例：已知某求积公式试问该机械求积公式是插值型的吗？解：根据已知的三个求积节点进行Lagrange插值，则插值基函数为：23所以原机械求积公式是插值型的求积公式。24牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式如果

7、将积分区间[a,b]分为n等分，其求积节点xi为：以上述n+1个求积节点为插值节点，构建被积函数f(x)的n次拉格朗日插值多项式Ln(x)，则有：上式中，表示各等分小区间的宽度。25牛顿-柯特斯求积公式（续）Ci柯特斯系数26牛顿-柯特斯求积公式（续）nh2728牛顿-柯特斯求积公式（续）负数29牛顿-柯特斯公式的稳定性如考虑计算时产生的舍入误差则由舍入误差引起的积分误差为：Newton-Cotes公式：30记时，皆为正，故：时，出现负数，随着n的增加而不断增大无上界由舍入误差引起的积分误差有上界

8、由舍入误差引起的积分误差无上界31梯形公式若积分区间[a,b]两端点处的函数值f(a),f(b)为已知，可应用线性插值公式p1(x)在区间[a,b]上的积分来近似替代f(x)在[a,b]上的积分，即牛顿-柯特斯公式中取n=1的情况。当n=1时，C0(1)=C1(1)=1/2，于是有：32梯形公式（续）xy0ABy=p1(x)y=f(x)f(a)abf(b)梯形公式的几何意义是用四边梯形的面积近似代替y=f(x)围成的曲边梯形的面积。33辛普森公式若积分区间[a,b]两端点以及积分区