数值计算方法复习提纲.doc

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1、数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。1、误差的来源模型误差观测误差截断误差舍入误差2误差与有效数字绝对误差E（x）=x-x绝对误差限相对误差有效数字若，称有n位有效数字。有效数字与误差关系（1）m一定时，有效数字n越多，绝对误差限越小；（2）有n位有效数字，则相对误差限为。选择算法应遵循的原则1、选用数值稳定的算法，控制误差传播；例△△x1、简化计算步骤，减少运算次数；2、避免两个相近数相

2、减，和接近零的数作分母；避免第二章线性方程组的数值解法1．了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法；4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定。本章主要解决线性方程组求解问题，假设n行n列线性方程组有唯一解，如何得到其解？两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。一、Gauss消去法1、顺序Ｇa

3、uss消去法记方程组为：　　　消元过程：经ｎ－１步消元，化为上三角方程组第ｋ步　若　　回代过程：２、Ｇauss—Ｊｏｒｄａｎ消去法避免回代，消元时上下同时消元３、Ｇauss列主元消去法例：说明直接消元，出现错误由顺序Ｇauss消去法，得；Ｇauss列主元消去法原理：每步消元前，选列主元，交换方程。算法：将方程组用增广矩阵表示。（1）消元过程：对k=1,2,n-1,选主元，找如果，则矩阵A奇异，程序结束；否则执行3。如果，则交换第k行与第行对应的元素位置，消元，对i=k+1,,n,计算对j=L+1,,n+1,计算（2）回代过程：1．若则矩阵A

4、奇异，程序结束；否则执行。2举例说明。4、消元法应用（1）行列式计算；（2）矩阵求逆。二、利用矩阵三角分解求解线性方程组1、求解原理线性方程组写成矩阵形式为：AX=b若A=LU，则LUX=b，记UX=Y则LY=b若L、U为特殊矩阵，则求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。1、Doolittle分解L为下三角矩阵,U为上三角矩阵,不一定能分解,分解也不一定唯一;设L或U是单位三角矩阵,若能分解,则可分解唯一.L是单位下三角矩阵,称为Doolittle分解;U是单位上三角矩阵,称为Crout分解；定理:n阶矩阵A有唯一分解的充要条件为A的

5、前n-1阶主子式都不为0.Doolittle分解算法：由矩阵乘法：得到：算法特点：先计算U的行，再计算L的列，交替进行；存储时可用紧凑格式。矩阵分解后，解两个三角方程组：LY=b，UX=Y3、Crout分解若L为下三角矩阵，U是单位上三角矩阵，则称Crout分解；算法特点：先计算L的列，再计算U的行，交替进行。4、正定对称矩阵的平方根法（Cholesky分解）（1）正定对称矩阵性质与判定：定义：是n阶对称矩阵，若对任意非零向量，有，则称A为正定对称矩阵；判定：A为n阶正定对称矩阵充要条件A的各阶顺序主子式大于0。（2）Cholesky分解定

6、理：设A为n阶正定对称矩阵，则存在唯一主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得.Cholesky分解算法：5、追赶法三对角矩阵的特殊分解三对角方程组的追赶法：追的过程LY=D赶的过程UX=Y§2线性方程组的迭代解法一、Jacobi迭代公式例：其解为方程变形得到迭代公式给初值计算，观察解的变化。一般地，对线性方程组若，则可从第i个方程中解出,得到Jacobi迭代公式：简记为：二、Gauss--Seidel迭代公式一、SOR迭代公式二、迭代公式的矩阵表示§3迭代公式的收敛性一、向量与矩阵的范数与性质1、向量范数定义：向量，对应非负实数，满足三条件

7、：（1）非负性（2）齐次性（3）三角不等式称为向量范数2、常见向量范数1范数2范数∞范数3、矩阵范数定义：方阵，对应非负实数，满足三条件：（1）非负性（2）齐次性（3）三角不等式（4）绝对值不等式称为矩阵范数；向量范数与矩阵范数相容性：4、常见矩阵范数1范数，列范数：∞范数，行范数：2范数，谱范数：F范数：举例计算一、迭代公式收敛性的判定1、向量的极限2、矩阵的谱半径：为特征值；3、收敛性的判定收敛的充要条件：迭代公式收敛的充要条件为谱半径。判定定理1：若则迭代公式收敛。判定定理2：若对方程AX=b的系数矩阵A为对角占优，则Jacobi迭代

8、公式，Gauss--Seidel迭代公式收敛；判定定理3：若对方程AX=b的系数矩阵A为对称正定，则Gauss--Seidel迭代公式收敛；Jacobi迭代公式收敛与Gauss-