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1、.数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。1、误差的来源模型误差观测误差截断误差舍入误差2误差与有效数字绝对误差E（x）=x-x*绝对误差限x*xx*相对误差Er(x)(xx*)/x(xx*)/x*有效数字x*0.a1a2....an10m若xx*110mn，称x*有n位有效数字。2有效数字与误差关系（1）m一定时，有效数字n越多，绝对误差限越小；（2）x*有n位有效数字，则相对误差限为Er(x)110(n1)。2a1选择算法应遵循的原则
2、1、选用数值稳定的算法，控制误差传播；例In11nxexedx01In1nIn1I01e△xnn!△x02、简化计算步骤，减少运算次数；3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免..第二章线性方程组的数值解法1．了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法；4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定。本章主要解决线性方程组求解问题，假设n行n列线性方程组有唯一解，
3、如何得到其解？a11x1a12x2...a1nxnb1a21x1a22x2...a2nxnb2...an1x1an2x2...annxnbn两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。一、Gauss消去法1、顺序Ｇauss消去法记方程组为：a11(1)x1a12(1)x2...a1(n1)xnb1(1)a21(1)x1a22(1)x2...a2(1n)xnb2(1)...an(11)x1an(12)x2...ann(1)xnbn(1)消元过程：经ｎ－１步消元，化为上三角方程组a11(1)x1b1(1)a21(2)x1a22(2)x2b2(2)...an(1
4、n)x1an(n2)x2...ann(n)xnbn(n)第ｋ步若akk(k)0(k1)(k)aik(k)(k)(k1)(k)aik(k)(k)aijaijakk(k)akjbibiakk(k)bkk1,...n1i,jk1,....,n回代过程：..xnbn(n)/ann(n)nxi(bi(i)aij(i)xj)/aii(i)(in1,n2,...1)ji1２、Ｇauss—Ｊｏｒｄａｎ消去法避免回代，消元时上下同时消元３、Ｇauss列主元消去法例：说明直接消元，出现错误0.00001x12x22x1x23由顺序Ｇauss消去法，得x21,x10；Ｇauss列主元消去法原理：每步消元
5、前，选列主元，交换方程。算法：将方程组用增广矩阵AMbaij表示。n(n1)（1）消元过程：对k=1,2,n-1,选主元，找ik{k,k1,,n}使得aik,kmaxaikkin如果aik,k0，则矩阵A奇异，程序结束；否则执行3。如果ikk，则交换第k行与第ik行对应的元素位置，akjaikj,jk,ggg,n1.消元，对i=k+1,L,n,计算likaik,对j=L+1,L,n+1,计算akkaijaijlikakj（2）回代过程：1．若ann0,则矩阵A奇异，程序结束；否则执行。an,n1;对in1,L,2,1,计算2xnannai,n1naijxjjixi1aii..举例说
6、明。4、消元法应用（1）行列式计算；（2）矩阵求逆。二、利用矩阵三角分解求解线性方程组1、求解原理线性方程组写成矩阵形式为：AX=b若A=LU，则LUX=b，记UX=Y则LY=b若L、U为特殊矩阵，则求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。2、Doolittle分解L为下三角矩阵,U为上三角矩阵,不一定能分解,分解也不一定唯一;设L或U是单位三角矩阵,若能分解,则可分解唯一.L是单位下三角矩阵,称为Doolittle分解;U是单位上三角矩阵,称为Crout分解；定理:n阶矩阵A有唯一分解的充要条件为A的前n-1阶主子式都不为0.Doolittle分解算法：a11a12...a1
7、n1u11u12...u1na21a22...a2nl211u22...u2n...........................an1an2...annln1ln2...1unn由矩阵乘法：aijnlikukjk1得到：k1ukjakjlkrurjjk,k1,...n;r1k1lik(aiklirurk)/ukkik,k1,...nr1算法特点：先计算U的行，再计算L的列，交替进行；存储时可用紧凑格式。矩阵分解后，解两个三角方程组：LY=b，UX=Y..i1y1b
